Chủ đề này có 8 trả lời

[tuquangtran123]

UBND TỈNH THỪA THIÊN HUẾ               KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                   LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014-2015
                                                                        Thời gian: 150 phút    

Bài 1: (4 điểm)

a)       Tính giá trị của biểu thức $Q=\frac{x^6-6x^5+12x^4-8x^3+2015}{x^6-8x^3-12x^2-6x+2015}$ với $x^2-2x-1=0$

b)       Cho biểu thức $A=\left ( 1-\frac{\sqrt{a}}{a+1} \right ):\left ( \frac{1}{\sqrt{a}-1} - \frac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a-1} \right )$

Tìm các giá trị của a nguyên sao cho A nguyên 

Bài 2: (4 điểm)

a)       Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3x+xy=12 & \\ x^2+y^2+x+7y=20 & \end{matrix}\right.$

b)       Tìm x;y nguyên thoả mãn phương trình: $x^4+4x^2y+3y^2+6y-16=0$

Bài 3: (3 điểm)

            Cho phương trình bậc hai: $x^2-2(m-1)x-3-m=0 (1)$ (x là ẩn số, m là tham số)

a)      Giải phương trình (1) khi m = 1

b)      Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

c)      Gọi x₁;x₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m sao cho: $M=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4x_{1}x_{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 4: (4 điểm)

            Cho ABC vuông tại A, vẽ ra phía ngoài các tam giác ABD vuông cân tại B và tam giác ACF vuông cân tại C. Gọi M,N lần lượt là giao điểm của AB và CD; của AC và BF.

a)      Chứng minh rằng: 3 điểm D,A,F thẳng hàng

b)      Chứng minh rằng: AM = AN và AM² = BM.CN

c)      Chứng minh rằng: S_ABD.S_ACF =$S_{ABC}^{2}$ (1). Đẳng thức (1) còn đúng không khi tam giác ABC là tam giác nhọn? Vì sao?

Bài 5: (3 điểm)

            Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn (M khác A và B). Hạ MH vuông góc với AB tại H. Gọi P,Q,I lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác MAH, MBH, AMB.

a)      Chứng minh điểm I là trực tâm của $\Delta MPQ$

b)      Tìm quỹ tích điểm I khi M di động trên nửa đường tròn

Bài 6: (2 điểm)

            Cho x,y,z là các số thực dương và xyz = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $\frac{2}{2x^2+y^2+3}+\frac{2}{2y^2+z^2+3}+\frac{2}{2z^2+x^2+3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuquangtran123: 08-04-2015 - 21:01
Cần phải chú ý nhiều hơn đến lỗi LATEX

[Dinh Xuan Hung]

UBND TỈNH THỪA THIÊN HUẾ               KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                   LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014-2015
                                                                        Thời gian: 150 phút    

 

Bài 6: (2 điểm)

            Cho x,y,z là các số thực dương và xyz = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $\frac{2}{2x^2+y^2+3}+\frac{2}{2y^2+z^2+3}+\frac{2}{2z^2+x^2+3}$

$\sum \frac{2}{2x^2+y^2+3}=\sum \frac{2}{x^2+y^2+x^2+1+2}\leq \sum \frac{2}{2xy+2x+2}=\frac{1}{2}\left ( \sum \frac{1}{xy+x+1} \right )=\frac{1}{2}$

[Dinh Xuan Hung]

UBND TỈNH THỪA THIÊN HUẾ               KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                   LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014-2015
                                                                        Thời gian: 150 phút    

 

Bài 3: (3 điểm)

            Cho phương trình bậc hai: $x^2-2(m-1)x-3-m=0 (1)$ (x là ẩn số, m là tham số)

a)      Giải phương trình (1) khi m = 1

b)      Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

c)      Gọi x₁;x₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m sao cho: $M=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4x_{1}x_{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.

 

a,$S={-2;2}$

b,$\Delta '=(m-1)^2-(-3-m)=m^2-m+4> 0$

c,Theo VI-ET

$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1) & & \\ x_1.x_2=-3-m & & \end{matrix}\right.$

Ta có:$x_1^2+x_2^2-4x_1x_2=(x_1+x_2)^2-6x_1x_2=4m^2-2m+22=\left ( 2m-\frac{1}{2} \right )^2+21,75\geq 21,75\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$

[nangcuong8e]

UBND TỈNH THỪA THIÊN HUẾ               KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                   LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014-2015
                                                                        Thời gian: 150 phút    

Bài 2: (4 điểm)

b)       Tìm x;y nguyên thoả mãn phương trình: $x^4+4x^y+3y^2+6y-16=0$

Ta có: $x^4 +4x^y+3y^2+6y-16 =0 \Leftrightarrow 3y^2 +6y +3 =-x^4 -4x^y +19 \Leftrightarrow 3(y+1)^2 =-x^4 -4x^y +19$

Dễ thấy $3(y+1)^2 \vdots 3$ nên $-x^4 -4x^y+19 \vdots 3$
 +, Với $y$ lẻ, ta có:

  -, Với $x \vdots 3$, dễ dàng thấy mâu thuẫn với mọi $y$ nên ta loại TH này

  -, Với $x \equiv 1$ (mod $3$), ta có: $-x^4 -4x^y +19 \equiv -1 -4 +19 = 14$ (mod $3$) (loại)

  -, Với $x \equiv -1$(mod $3$), ta có: $-x^4 -4x^y +19 \equiv -1 +4 +19 =22$ (mod $3$) (loại)

$\Rightarrow y$ chẵn mà $x \equiv 1;-1$ (mod $3$) nên $-x^4 -4x^y+19 \equiv -1 -4+19 =14$ (mod $3$)
Do đó, phương trình không có nghiệm nguyên $(x;y)$ thỏa mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 08-04-2015 - 20:49

[tuquangtran123]

Ta có: $x^4 +4x^y+3y^2+6y-16 =0 \Leftrightarrow 3y^2 +6y +3 =-x^4 -4x^y +19 \Leftrightarrow 3(y+1)^2 =-x^4 -4x^y +19$

Dễ thấy $3(y+1)^2 \vdots 3$ nên $-x^4 -4x^y+19 \vdots 3$
 +, Với $y$ lẻ, ta có:

  -, Với $x \vdots 3$, dễ dàng thấy mâu thuẫn với mọi $y$ nên ta loại TH này

  -, Với $x \equiv 1$ (mod $3$), ta có: $-x^4 -4x^y +19 \equiv -1 -4 +19 = 14$ (mod $3$) (loại)

  -, Với $x \equiv -1$(mod $3$), ta có: $-x^4 -4x^y +19 \equiv -1 +4 +19 =22$ (mod $3$) (loại)

$\Rightarrow y$ chẵn mà $x \equiv 1;-1$ (mod $3$) nên $-x^4 -4x^y+19 \equiv -1 -4+19 =14$ (mod $3$)
Do đó, phương trình không có nghiệm nguyên $(x;y)$ thỏa mãn.

Lúc nãy mình viết lộn đề, mới sửa lại

[nangcuong8e]

UBND TỈNH THỪA THIÊN HUẾ               KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                   LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014-2015
                                                                        Thời gian: 150 phút    

 

Bài 2: (4 điểm)

b)       Tìm x;y nguyên thoả mãn phương trình: $x^4+4x^2y+3y^2+6y-16=0$

Ta có: $x^4 +4x^2y +3y^2 +6y -16 =0 \Leftrightarrow (x^4+4x^2y+4y^2) -(y^2-6x+9) =7 \Leftrightarrow (x^2+2y)^2 -(y-3)^2 =7 \Leftrightarrow (x^2 +y+3)(x^2+3y-3) =7$

 Đây là phương trình tích mà $7=1.7=7.1=(-1).(-7)=(-7).(-1)$ nên ta xét TH là ra.

[Ngoc Hung]

UBND TỈNH THỪA THIÊN HUẾ               KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                   LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014-2015
                                                                        Thời gian: 150 phút    

Bài 2: (4 điểm)

a)       Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3x+xy=12 & \\ x^2+y^2+x+7y=20 & \end{matrix}\right.$

 

Từ phương trình (1) ta có $-2xy=6x-24$ 

Từ phương trình (2) ta có $(x+y)^{2}-2xy+x+7y=20\Leftrightarrow (x+y)^{2}+6x-24+x+7y=20\Leftrightarrow (x+y)^{2}+7(x+y)-44=0\Leftrightarrow (x+y-4)(x+y+11)=0$

Với $x+y-4=0\Rightarrow y=4-x$ thế vào (1) được $x^{2}-7x+12=0\Rightarrow x=3;x=4$

Với $x + y + 11 = 0$ tương tự

[Ngoc Hung]

Bài 4: a) Ta có $\widehat{BAD}+\widehat{BAC}+\widehat{CAF}=180^{0}$ nên D, A, F thẳng hàng

b) Ta có BD // AC, AB // CF. Áp dụng hệ quả TaLet ta có 

$\frac{AN}{NC}=\frac{AB}{CF}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{AN}{AC}=\frac{AB}{AB+AC}\Rightarrow AN=\frac{AB.AC}{AB+AC}$ (1)

$\frac{AM}{BM}=\frac{AC}{BD}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AC}{AB+AC}\Rightarrow AM=\frac{AB.AC}{AB+AC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM = AN và $\frac{AN}{CN}.\frac{AM}{BM}=\frac{AB}{AC}.\frac{AC}{AB}=1\Rightarrow AN.AM=CN.BM\Rightarrow AM^{2}=CN.BM$

c) $S_{ABD}.S_{ACF}=\frac{AB^{2}}{2}.\frac{AC^{2}}{2}=\left ( \frac{AB.AC}{2} \right )^{2}=S_{ABC}^{2}$

[I Love MC]

Bài 5 : a) Ta có $\hat{PMQ}=\frac{1}{2}(\hat{AMH}+\hat{HMB})=45^{o}$ 
 Tính được $\widehat{AIB}=135^{o}$ 
Gọi $J,K$ lần lượt là giao của $BQ$ với $MP$,$AI$ với $MQ$ 
Ta có $\hat{MPA}=135^{o}$
Xét tam giác $MPK$ có $\hat{MPK}+\hat{PMK}+\hat{MKP}=180^{o} \Rightarrow \hat{MKP}=90^{o}$ tương tự với $BJ$ 
Suy ra $I$ là trực tâm của $\Triangle{MPQ}$
b) Vì $AB$ cố định mà $\hat{AIB}=135^{o}$ nên quỹ tích điểm $I$ là chạy trên cung chứa góc $135^{o}$ dựng trên $AB$