Chủ đề này có 11 trả lời

[ngheovanvip02]

Cho $a,b,c >0, a+b+c=3$, chứng minh $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 28-06-2015 - 14:59

[Dinh Xuan Hung]

Cho a,b,c >0, a+b+c=3, chứng minh $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\sum \frac{a+a^2b-a^2b}{ab+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow a+b+c-\sum \frac{a^2b}{ab+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2b}{ab+1}\leq \frac{3}{2}$

Áp dụng AM-GM ở mẫu $ab+1\geq 2\sqrt{ab}$ ta chỉcần chứng minh:

$\sum a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}}\leq 3$

Đến đây cho $a=x^2;b=y^2;z=c^2$ thì ta có ngay bài quen thuộc : 

$\left ( \sum x^2 \right )^2\geq 3\sum x^3y\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left ( x^2-y^2-xy-xz+2yz \right )^2\geq 0$

[nguyenhongsonk612]

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\sum \frac{a+a^2b-a^2b}{ab+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow a+b+c-\sum \frac{a^2b}{ab+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2b}{ab+1}\leq \frac{3}{2}$

Áp dụng AM-GM ở mẫu $ab+1\geq 2\sqrt{ab}$ ta chỉcần chứng minh:

$\sum a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}}\leq 3$

Đến đây cho $a=x^2;b=y^2;z=c^2$ thì ta có ngay bài quen thuộc : 

$\left ( \sum x^2 \right )^2\geq 3\sum x^3y\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left ( x^2-y^2-xy-xz+2yz \right )^2\geq 0$

Cho tớ hỏi làm thế nào để phân tích bình phương câu cuối này cậu?

[Trang Luong]

Cho a,b,c >0, a+b+c=3, chứng minh $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

Cách 2:

$\sum \frac{a}{ab+1}=3-\sum \frac{ab}{ab+1}\geq 3-\sum (\frac{ab}{4ab}+\frac{ab}{4})= \frac{9}{4}-\sum \frac{ab+bc+ca}{4}\geq \frac{9}{4}-\frac{(a+b+c)^{2}}{12}=\frac{3}{2}$

[ngheovanvip02]

Cách 2:

$\sum \frac{a}{ab+1}=3-\sum \frac{ab}{ab+1}\geq 3-\sum (\frac{ab}{4ab}+\frac{ab}{4})= \frac{9}{4}-\sum \frac{ab+bc+ca}{4}\geq \frac{9}{4}-\frac{(a+b+c)^{2}}{12}=\frac{3}{2}$

phải là 3 - $\sum \frac{a^{2}b}{ab+1}$ chứ

[Hoang Nhat Tuan]

Cách 2:

$\sum \frac{a}{ab+1}=3-\sum \frac{ab}{ab+1}\geq 3-\sum (\frac{ab}{4ab}+\frac{ab}{4})= \frac{9}{4}-\sum \frac{ab+bc+ca}{4}\geq \frac{9}{4}-\frac{(a+b+c)^{2}}{12}=\frac{3}{2}$

Bạn làm như thế này là hoàn toàn sai nhé

 

Cho tớ hỏi làm thế nào để phân tích bình phương câu cuối này cậu?

Đây là cách biến đổi của em: BĐT <=>

$\sum x^4+2\sum x^2y^2\geq 3\sum x^3y$

$<=>S=(\sum x^4-\sum x^2y^2)+3(\sum x^2y^2-\sum x^2yz)-3(\sum x^3y-\sum x^2yz)\geq 0$

Ta có: $\sum x^4-\sum x^2y^2=\frac{1}{2}\sum (x^2-y^2)^2$

$3(\sum x^2y^2-\sum x^2yz)=\frac{1}{2}\sum (xy+xz-2yz)^2$

$3(\sum x^3y-\sum x^2yz)=-3\sum yz(x^2-y^2)=-3\sum yz(x^2-y^2)+\sum (\sum xy)(x^2-y^2)$

$=\sum (x^2-y^2)(xy+xz-2yz)$

Thay vào ta được:

$S=\frac{1}{2}\sum (x^2-y^2)^2+\frac{1}{2}\sum (xy+xz-2yz)^2-\sum (x^2-y^2)(xy+xz-2yz)=\frac{1}{2}\sum (x^2-y^2-xy-xz+2yz)^2$

[Hoang Long Le]

Cho tớ hỏi làm thế nào để phân tích bình phương câu cuối này cậu?

 Em nghĩ chỗ cuối nên dùng BW thì nó dễ ăn hơn anh ạ

[dogsteven]

Cho tớ hỏi làm thế nào để phân tích bình phương câu cuối này cậu?

Em xin đề xuất hướng giải bất đẳng thức $(a^2+b^2+c^2)^2\geqslant 3(a^3b+b^3c+c^3a)$

Xét phân tích: $(x+y+z)(x(b-c)^2+y(c-a)^2+z(a-b)^2)=((a-c)y-(a-b)z)^2+((b-a)z-(b-c)x)^2+((c-b)x-(c-a)y)^2+(xy+yz+zx)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

Trở lại với bài toán. Ta có thể viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng: $\sum a(a-b)^3+(a^3b+b^3c+c^3a-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2)\geqslant 0$

Theo phân tích trên ta có $(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\sum a(a-b)^3=\sum ((c-a)^2c-(a-b)^2a)^2-(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(a^3b+b^3c+c^3a-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2)$

Do đó $(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)((a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a))=\sum ((c-a)^2c-(a-b)^2a)^2\geqslant 0$

Nếu $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$ thì bất đẳng thức đầu hiển nhiên đúng. (Xảy ra đẳng thức)

Nếu $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca>0$ thì theo kết quả trên ta có ngay điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 28-06-2015 - 05:57

[dogsteven]

Bạn làm như thế này là hoàn toàn sai nhé

 

Đây là cách biến đổi của em: BĐT <=>

$\sum x^4+2\sum x^2y^2\geq 3\sum x^3y$

$<=>S=(\sum x^4-\sum x^2y^2)+3(\sum x^2y^2-\sum x^2yz)-3(\sum x^3y-\sum x^2yz)\geq 0$

Ta có: $\sum x^4-\sum x^2y^2=\frac{1}{2}\sum (x^2-y^2)^2$

$3(\sum x^2y^2-\sum x^2yz)=\frac{1}{2}\sum (xy+xz-2yz)^2$

$3(\sum x^3y-\sum x^2yz)=-3\sum yz(x^2-y^2)=-3\sum yz(x^2-y^2)+\sum (\sum xy)(x^2-y^2)$

$=\sum (x^2-y^2)(xy+xz-2yz)$

Thay vào ta được:

$S=\frac{1}{2}\sum (x^2-y^2)^2+\frac{1}{2}\sum (xy+xz-2yz)^2-\sum (x^2-y^2)(xy+xz-2yz)=\frac{1}{2}\sum (x^2-y^2-xy-xz+2yz)^2$

 

Tổng quát cho cách phân tích này:

$m\sum a^4+n\sum a^2b^2+p\sum a^3b+q\sum ab^3-(m+n+p+q)\sum a^2bc\geqslant 0$

$\Leftrightarrow m\left(\sum a^4 - \sum a^2b^2\right)+(m+n)\left(\sum a^2b^2-\sum a^2bc\right)+p\left(\sum a^3b-\sum a^2bc\right)+q\left(\sum ab^3-\sum a^2bc\right)\geqslant 0$

Chú ý các đẳng thức:

$\sum a^4-\sum a^2b^2= \dfrac{1}{2}\sum (a^2-b^2)^2$

$\sum a^3b-\sum a^2bc=\dfrac{1}{3}\sum (ab+ac-2bc)(a^2-b^2)$

$\sum ab^3-\sum a^2bc=\dfrac{-1}{3}\sum (ab+bc-2ca)(a^2-b^2)$

$\sum a^2b^2-\sum a^2bc=\dfrac{1}{6(p^2+pq+q^2)}\sum \left((p-q)ab-(2p+q)bc+(p+2q)ca\right)^2$ (Phân tích này có thể dùng tham số phụ để có được nó)

Do đó bất đẳng thức được viết lại như sau:

$\dfrac{m}{2}\sum (a^2-b^2)^2+\dfrac{1}{3}\sum \left((p-q)ab-(2p+q)bc+(p+2q)ca\right)\\+\dfrac{m+n}{6(p^2+pq+q^2)}\sum \left((p-q)ab-(2p+q)bc+(p+2q)ca\right)^2\geqslant 0$

Đến đây gom hằng đẳng thức là xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 28-06-2015 - 06:40

[O0NgocDuy0O]

Cho a,b,c >0, a+b+c=3, chứng minh $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

Làm thử, không biết đúng không nữa:

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}=\frac{a^{2}}{a^{2}b+a}+\frac{b^{2}}{b^{2}c+b}+\frac{c^{2}}{c^{2}a+c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+a+b+c}=\frac{9}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+3}$.

Cần chứng minh: $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq 3$.

 Xét: $(b+c+a)(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq (ab+bc+ca)^{2}\Rightarrow 3\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}\geq \frac{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}=a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh, dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 28-06-2015 - 12:38

[dogsteven]

Làm thử, không biết đúng không nữa:

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}=\frac{a^{2}}{a^{2}b+a}+\frac{b^{2}}{b^{2}c+b}+\frac{c^{2}}{c^{2}a+c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+a+b+c}=\frac{9}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+3}$.

Cần chứng minh: $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq 3$.

 Xét: $(b+c+a)(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq (ab+bc+ca)^{2}\Rightarrow 3\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}\geq \frac{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}=a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh, dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$.

Bất đẳng thức này chắn chắn sai rồi, tại vì $a^2b+b^2c+c^2a\leqslant a^2b+b^2c+c^2a+abc\leqslant \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}=4$

[quanguefa]

Ko có ai có lời giải đơn giản à, mình cũng đang cần bài này, lời giải của anh Dinh Xuan Hung đúng nhưng mà phần cuối phải phân tích rắc rối quá, anh kêu quen thuộc mà sao em thấy lạ hoắc.
Cái chỗ $(\sum x^{2})\geq 3\sum x^{3}y$ à