Chủ đề này có 3 trả lời

[Dung Du Duong]

Cho a,b,c,d $\geqslant 0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=4$

CMR: $a^{2}bc+b^{2}cd+c^{2}da+d^{2}ab\leqslant 4$

[nguyenhongsonk612]

 

Cho a,b,c,d $\geqslant 0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=4$

CMR: $a^{2}bc+b^{2}cd+c^{2}da+d^{2}ab\leqslant 4$

 

Không mất tính tổng quát, ta hoàn toàn có thể giả sử $b\geq c\geq a\geq d$

Khi đó, ta có

$bc(a-b)(a-d)+da(c-d)(c-b)\leq 0$

$\Leftrightarrow a^2bc+b^2ca+c^2da+d^2ab\leq ca(b+d)^2$

Vậy ta chỉ cần C/m $ca(b+d)^2 \leq 4$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$ca(b+d)^2\leq \frac{c^2+a^2}{2}.2(b^2+d^2)\leq \begin{pmatrix} \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2} \end{pmatrix}^2=4$

(Đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d=1$

[LeHKhai]

không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c\geq d \Rightarrow abc\geq abd\geq acd\geq bcd$

từ $bd(a-c)(b-d)\geq 0\Rightarrow b^2cd + d^2ab\leq ab^2d+bcd^2$

ta có $a^2bc + b^2cd + c^2da + d^2ab \leq a^2bc + ab^2d + c^2da + bcd^2$

$= (ab+cd)(ac+bd)\leq \frac{(ab+bc+ac+bd)^2}{4}$

$=\frac{(a+d)^2(b+c)^2}{4}\leq \frac{(a+b+c+d)^4}{16}\leq \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{4}=4$

dấu "$=$" xảy ra khi $a = b = c = d = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LeHKhai: 09-04-2015 - 20:34

[25 minutes]

Không mất tính tổng quát, ta hoàn toàn có thể giả sử $b\geq c\geq a\geq d$

 

không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c\geq d \Rightarrow abc\geq abd\geq acd\geq bcd$

Đoạn này không biết $a,b,c,d$ có vai trò như nhau không ?

 

 

 

Cho a,b,c,d $\geqslant 0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=4$

CMR: $a^{2}bc+b^{2}cd+c^{2}da+d^{2}ab\leqslant 4$

 

Đặt $VT=P$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

       $P^2\leqslant (a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2)(a^2c^2+b^2d^2+c^2a^2+d^2b^2)\leqslant \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{4}.\frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{4}=16$

Vậy ta có đcpm