Chủ đề này có 3 trả lời

[Phan Huy Hoang]

Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$$

[Hoang Nhat Tuan]

Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$$

Ta giả sử a+b+c=1

BĐT cần chứng minh tương đương với $\frac{(a+1)^{2}}{2a^{2}+(1-a)^{2}}+\frac{(b+1)^{2}}{2b^{2}+(1-b)^{2}}+\frac{(c+1)^{2}}{2c^{2}+(1-c)^{2}}\leq 8$

$Đặt f(x)=\frac{(x+1)^{2}}{2x^{2}+(1-x)^{2}}$=$\frac{x^{2}+2x+1}{3x^{2}-2x+1}$

Ta chứng minh được $f(x)\leq \frac{12x+4}{3}$

Do đó $f(a)+f(b)+f(c)\leq \frac{12(a+b+c)+12}{3}=8$

[nangcuong8e]

Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$$

Ta có: Vì đây là bất đẳng thức đối xứng thuần nhất nên ta chuẩn hóa $a+b+c =3$, do đó ta có;

$\sum \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2} =\sum \frac{(a+3)^2}{2a^2 +(3-a)^2} =\sum \frac{a^2+6a+9}{3a^2 -6a +9}$

 Ta cần chứng minh $\frac{a^2 +6a+9}{3a^2-6a+9} \leq \frac{4}{3}(a+1)$, thật vậy:

BDT tương đương $4a^3 -5a^2 -2a+3 \geq 0 \Leftrightarrow (a-1)^2(4x+3) \geq 0$ (luôn đúng với $a$ dương)

 Do đó $\sum \frac{a^2 +6a+9}{3a^2-6a+9} \leq \frac{4}{3}(a+b+c+3) =8$ (do $a+b+c =3$)

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

[Hoang Nhat Tuan]

Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$$

Bài này dùng theo phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là nhanh nhất nhưng mà mình mới học THCS chưa biết nhiều về phần đạo hàm