1 reply to this topic

[Coppy dera]

Cho $\Delta ABC$ đều. Một đường thẳng $//BC$ cắt AB,AC ở D,E. M,N là trung điểm của DE,BE. O là trọng tâm của $\Delta ADE$

a,C/m $\Delta OMN \sim \Delta OEC$

b,C/m $ON \perp NC$

[Gwyneth]

a.

Do $DE//BC$ nên $\bigtriangleup ADE \sim \bigtriangleup ABC$ (hai tam giác đều)

Xét tam giác ADE đều có O là trọng tâm nên O cũng là tâm đường tròn nội tiếp và là trực tâm của tam giác

O là trực tâm $\Rightarrow OM \perp  DE \Rightarrow \angle OMD = 90^o$

Ta có $\angle DMB = \angle ADE = 60^o$ nên $\angle OMN=150^o$

Tính được $ \angle OEC = 150^o$

Xét tam giác vuông OME có $ \angle OEM=30^o \Rightarrow OE = 2OM(1)$

Dễ dàng chứng minh MN là đường trung bình của tam giác BDE nên BD = 2MN

Theo ta lét ta chứng minh được $EC=BD=2MN(2)$

Từ $(1),(2)$, ta có: $\frac{OE}{OM}=\frac{EC}{MN} (=2)$

khi này ta có đpcm

b.

Lấy trung điểm I của OC

Chứng minh được $\angle NOC = 60^o$

Từ phần a ta có OC=2ON mà I là trung điểm của OC nên OI=IC=ON(*)

Tam giác OIN có $\angle NOI = 60^o, OI=ON$ nên tam giác OIN là tam giác đều nên OI=ON=IN(**)

Từ (*) và (**) có $NI=\frac{1}{2}OC$ mà NI là đường trung tuyến ứng với cạnh OC của tam giác ONC nên tam giác ONC vuông tại N từ đó có đpcm

Attached Images

• 

Edited by Gwyneth, 12-04-2015 - 19:14.