Chủ đề này có 1 trả lời

[halosix]

Cho tam giác ABC, M,N,P lần lượt $\epsilon$ BC,AC,AB . Nối AM, BN, CP.K,I,J lần lượt là giao điểm của CP và AM, AM và BN, BN và CP.Chứng minh nếu diện tích 4 $\Delta APK$ ,$\Delta KIJ$,$\Delta BIM$ ,$\Delta CNJ$ bằng nhau thì diện tích 3 hình tứ giác còn lại trong $\Delta ABC$ cũng bằng nhau

$\Delta APK,KJI,MIB,CNJ$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 16-04-2015 - 18:52
Chú ý:Sử dụng $$ khi giữa nó là một công thức TOÁN HỌC

[LeHKhai]

Cho tam giác ABC, M,N,P lần lượt $\epsilon$ BC,AC,AB . Nối AM, BN, CP.K,I,J lần lượt là giao điểm của CP và AM, AM và BN, BN và CP.Chứng minh nếu diện tích 4 $\Delta APK$ ,$\Delta KIJ$,$\Delta BIM$ ,$\Delta CNJ$ bằng nhau thì diện tích 3 hình tứ giác còn lại trong $\Delta ABC$ cũng bằng nhau

$\Delta APK,KJI,MIB,CNJ$

diện tích 4 tam giác đó không thể bằng nhau được bạn

theo mình thì đề phải là $S_{AIN}=S_{BJP}=S_{CKM}=S_{IJK}$

đặt $S_{BMKJ} = S_{1}, S_{CKIN} = S_{2}, S_{AIJP} = S_{3}, S_{AIN}=S_{BJP}=S_{CKM}=S_{IJK} = S$

ta có : $S_{IKJ}=S_{KMC}\Rightarrow S_{JCI}=S_{MCI}\Rightarrow MJ//CI\Rightarrow MJIC$ là hình thang

gọi $L$ là giao điểm của $BK$ và $JM$

$\Rightarrow L$ là trung điểm của $JM$ (vì đường thẳng nối 2 giao điểm của 2 cạnh bên và 2 đường chéo của hình thang đi qua trung điểm của mỗi đáy)

$\Rightarrow S_{BLM} = \frac{1}{2}S_{BJM}$ và $S_{KLM} = \frac{1}{2}S_{KJM} \Rightarrow S_{BKM} = \frac{1}{2} S_{BMKJ} = \frac{1}{2} S_{1}$

tương tự : $S_{CIK}=\frac{1}{2} S_{2}$

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : $\frac{CM}{BM} = \frac{S_{CKM}}{S_{BKM}} = \frac{S_{CIM}}{S_{BIM}} = \frac{S_{CIM}-S_{CKM}}{S_{BIM}-S_{BKM}}=\frac{S_{CIK}}{S_{BIK}}$

tương tự : $\frac{S_{CKM}}{S_{BKM}}=\frac{S_{CAI}}{S_{BAI}}$

lại áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau : $\frac{S_{CAI}}{S_{BAI}}=\frac{S_{CKM}}{S_{BKM}}=\frac{S_{CIK}}{S_{BIK}}=\frac{S_{CKM}+S_{CIK}}{S_{BKM}+S_{BIK}}$

$\Rightarrow \frac{S+\frac{1}{2}S_{2}}{S+S_{3}}=\frac{S+\frac{1}{2}S_{2}}{\frac{1}{2}S_{1}+S+\frac{1}{2}S_{1}}$
$\Rightarrow S+S_{3}=S+S_{1} \Rightarrow S_{1} = S_{3}$

tương tự : $S_{2}=S_{3}$

do đó : $S_{1}=S_{2}=S_{3}$ hay $S_{BMKJ}=S_{CKIN}=S_{AIJP}$ (đpcm)