Chủ đề này có 3 trả lời

[tunglamlqddb]

Cho các số dương a, b, c nhỏ hơn 1 thỏa mãn $(1-a)(1-b)(1-c)=abc$

Chứng minh: 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3}{2}$

[an1712]

gt=>$a+b+c=ab+bc+ac-2abc-1$

thay vào dùng cô si biến đổi theo biến t=a+b+c là ra

[tunglamlqddb]

Bạn nói rõ hơn đi!

[lahantaithe99]

Cho các số dương a, b, c nhỏ hơn 1 thỏa mãn $(1-a)(1-b)(1-c)=abc$

Chứng minh: 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3}{2}$

 

$(\frac{1-a}{a},\frac{1-b}{b},\frac{1-c}{c})=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(\frac{1}{x+1},\frac{1}{y+1},\frac{1}{z+1})$ với $xyz=1$

 

Ta cần chứng minh $\sum (\frac{1}{x+1})^2+\frac{1}{2}\sum \frac{1}{x+1}\geq \frac{3}{2}$

 

Có 1 BĐT quen thuộc là $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geq \frac{1}{xy+1}=\frac{z}{z+1}$

 

Theo nguyên lí Dirichle giả sử $(x-1)(y-1)\geq 0$ thì $x+y\leq xy+1$ nên

 

$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\geq\frac{4}{x+y+2}\geq\frac{4}{xy+3}=\frac{4z}{1+3z}$

 

Do đó cần chứng minh $\frac{1}{(z+1)^2}+\frac{z}{2(z+1)}+\frac{2z}{1+3z}\geq 1\Leftrightarrow \frac{z(z-1)^2}{(z+1)^2(1+3z)}\geq 0$ ( đúng)

 

Nên ta có đpcm

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 25-04-2015 - 05:08