Chủ đề này có 3 trả lời

[halosix]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) có BC ,AC,AB lần lượt bằng a,b,c. I thuộc miền trong của tam giác. x,y,z lần lượt là khoảng cách từ I đến BC,AC,AB.$Chứng minh \sum \sqrt{x} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2R}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halosix: 24-04-2015 - 23:27

[the man]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) có BC ,AC,AB lần lượt bằng a,b,c. I thuộc miền trong của tam giác. x,y,z lần lượt là khoảng cách từ I đến BC,AC,AB.$Chứng minh \sum \sqrt{x} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2R}}$

Sử dụng công thức $S=\frac{abc}{4R}$,bđt bunhia ta có 

$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{\frac{abc}{2S}}}=\sqrt{2S.\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}=\sqrt{\left ( ax+by+cz \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

[halosix]

Sử dụng công thức $S=\frac{abc}{4R}$,bđt bunhia ta có 

$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{\frac{abc}{2S}}}=\sqrt{2S.\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}=\sqrt{\left ( ax+by+cz \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

Bạn chứng minh công thức $S=\frac{abc}{4R}$

[the man]

Bạn chứng minh công thức $S=\frac{abc}{4R}$

Kẻ đường kính $AOD$ và đường cao $AH$

C/m $\Delta ABH\sim \Delta ADC\Rightarrow \frac{AH}{c}=\frac{b}{2R}\Rightarrow AH=\frac{bc}{2R}\Rightarrow S=\frac{AH.a}{2}=\frac{abc}{4R}$