6 replies to this topic

[Messi10597]

Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn c=min{a;b;c},Tìm GTNN của 

$P=\frac{1}{a^{2}+c^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{a+b+c}$

[binhnhaukhong]

Vì $c=min${$a,b,c$} nên ta có các đánh giá sau:

$a^2+c^2\leq (a+\frac{c}{2})^2,b^2+c^2\leq (b+\frac{c}{2})^2$

Vậy nếu đặt $x=a+\frac{c}{2},y=b+\frac{c}{2}$ thì:

$P\geq \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\sqrt{x+y}$

Đến đây đã lộ ý tưởng đánh giá theo $x+y$

Edited by binhnhaukhong, 29-04-2015 - 16:01.

[Messi10597]

Vì $c=min${$a,b,c$} nên ta có các đánh giá sau:

$a^2+c^2\leq (a+\frac{c}{2})^2,b^2+c^2\leq (b+\frac{c}{2})^2$

Vậy nếu đặt $x=a+\frac{c}{2},y=b+\frac{c}{2}$ thì:

$P\geq \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\sqrt{x+y}$

Đến đây đã lộ ý tưởng đánh giá theo $x+y$

vì sao lại có 2 cái đánh giá kia thế bạn

[tonarinototoro]

vì sao lại có 2 cái đánh giá kia thế bạn

$a\geq c\Rightarrow ac\geq c^{2}\Rightarrow \left ( a+\frac{c}{2} \right )^{2}=a^{2}+ac+\frac{c^{2}}{4}\geq a^{2}+c^{2}+\frac{c^{2}}{4}\geq a^{2}+c^{2}$

tương tự với b

[huuhieuht]

sau đó đánh giá theo x+y thế nào nhỉ

[tonarinototoro]

sau đó đánh giá theo x+y thế nào nhỉ

$P\geq \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\sqrt{x+y}$

có thể làm tiếp thế này $P\geq \frac{8}{\left ( x+y \right )^{2}}+\sqrt{xy}$. đến đây dùng AM-GM 5 số cho $\frac{8}{\left ( x+y \right )^{2}}$ và 4 số $\frac{1}{4}\sqrt{xy}$

hoặc làm thế này $P\geq \frac{2}{xy}+\sqrt{2}.\sqrt[4]{xy}$. đến đây dùng AM-GM 5 số cho $\frac{2}{xy}$ và 4 số $\frac{1}{4}.\sqrt{2}.\sqrt[4]{xy}$

[TMW]

Vì $c=min${$a,b,c$} nên ta có các đánh giá sau:

$a^2+c^2\leq (a+\frac{c}{2})^2,b^2+c^2\leq (b+\frac{c}{2})^2$

Vậy nếu đặt $x=a+\frac{c}{2},y=b+\frac{c}{2}$ thì:

$P\geq \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\sqrt{x+y}$

Đến đây đã lộ ý tưởng đánh giá theo $x+y$

Thấy quen quen .............................