Cho a,b,c,d>0 tìm tất cả các giá trị có thể của $S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}$
( đề thi IMO 1974)
Cho a,b,c,d>0 tìm tất cả các giá trị có thể của $S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}$
Bắt đầu bởi Hoang Nhat Tuan, 02-05-2015 - 06:06
#1
Đã gửi 02-05-2015 - 06:06
Hoang Nhat Tuan
-
- Thành viên
-
- 974 Bài viết
Hỏa Long
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#2
Đã gửi 02-05-2015 - 07:55
Mosses William Tran
-
- Thành viên
-
- 17 Bài viết
Binh nhì
Ta thấy $S > \sum \frac{a}{a+b+c+d} = 1$ và $S < \sum \frac{a}{a+b} < 2$ Do đó 1< S < 2
Ta chứng minh tập giá trị của S là khoảng (1;2).
Xét phương trình S = t với t thuộc (1;2)
Chọn a = x(1-x), b=x, c=1-x và d=1 với x thuộc (0;1), phương trình trở thành f(x) = 0 với $f(x) = \frac{x(1-x)}{1+2x-x^{2}} + \frac{x}{1+x-x^{2}} + \frac{1-x}{x} + \frac{1}{2-x^{2}} - t$
Lại có f(x) là hàm liên tục trên (0;1) Lại có $\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 1-t <0$ và $\lim_{x\rightarrow 1} f(x) = 2-t >0$ nên phương trình có nghiệm thuộc (0;1)
- Hoang Nhat Tuan yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
