Chủ đề này có 2 trả lời

[khanhlinh8b]

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. I, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABH và ACH. Đường thẳng IK cắt AB ở M, AC ở N.

Chứng minh:

a) AM=AN

b) $S_{\Delta ABC}\geq 2S_{\Delta AMN}$

[Phung Quang Minh]

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. I, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABH và ACH. Đường thẳng IK cắt AB ở M, AC ở N.

Chứng minh:

a) AM=AN

b) $S_{\Delta ABC}\geq 2S_{\Delta AMN}$

a)-Gọi BI cắt CK tại Q.

-Ta có: góc IAK=45 độ và Q là giao 3 đường phân giác trong tam giác ABC.

-Do I là giao 3 đường phân giác trong tam giác AHB vuông tại H => góc AIB= 135 độ => góc AIQ=45 độ

=> IQ vuông góc với AK (góc IAK=45 độ; góc AIQ=45 độ).

-Tương tự, ta có: KQ vuông góc với AI   =>Q là trực tâm tam giác AKI.

=> AQ vuông góc với IK  => AQ vuông góc với MN.

-Trong tam giác AMN có AQ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác => tam giác AMN cân tại A  

=> AM=AN.

[Phung Quang Minh]

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. I, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABH và ACH. Đường thẳng IK cắt AB ở M, AC ở N.

Chứng minh:

a) AM=AN

b) $S_{\Delta ABC}\geq 2S_{\Delta AMN}$

b)-Do tam giác AMN có AM=AN và góc MAN=90 độ.

=> góc AMI= góc ANK=45 độ.

=> tam giác AMI= tam giác AHI (g.c.g) => AM=AH. Mà AM=AN; AM vuông góc với AN.

=>2.S(AMN)= AM.AN= AH^2 (1).

-Lấy P là trung điểm của BC.

-Ta có: BC/2= AP >=AH (2).

-Từ (1);(2) => 2.S(AMN)=AH^2 =< AH.BC/2= S(ABC).

=>đpcm. Dấu = xảy ra khi AP=AH <=> tam giác ABC vuông cân tại A.