Bài toá n. Tính tích phân
$I=\int \int_{D} ln\left | sin(x-y) \right |dxdy$, trong đó $D=\left \{ (x,y)/0\leq x< y\leqslant \pi \right \}$
Lời giải:
Để tính tích phân hai lớp này, trước hết ta chứng minh đẳng thức sau:
$\sum_{0\leqslant j< k\leq n-1}\frac{\pi ^{2}}{n^{2}}ln\left | sin\left ( \frac{j\pi }{n}-\frac{k\pi }{n} \right ) \right |=\frac{\pi ^{2}}{2n}lnn-\left ( 1-\frac{1}{n} \right )\frac{\pi ^{2}}{2}ln2$.
Xét định thức:
$A=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1\\ 1& \varepsilon &\varepsilon ^{2} &...& \varepsilon ^{n-1}\\ 1& \varepsilon ^{2} &\varepsilon ^{4} &... &\varepsilon ^{2(n-1)} \\ ... & ... & .... & ... & ...\\ 1 & \varepsilon ^{n-1} &\varepsilon ^{2(n-1)} &... &\varepsilon ^{(n-1)(n-1)} \end{vmatrix}$
trong đó $\varepsilon =e^{\frac{2\pi i}{n}}$
Ta thấy đây là định thức Vandermonde nên
$A=\prod_{0\leq j< k\leq n-1}\left ( \varepsilon ^{j}-\varepsilon ^{k} \right )$.
Mặt khác liên hợp :$\bar{A}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1\\ 1& \bar{\varepsilon } &\bar{\varepsilon }^{2} &... &\bar{\varepsilon}^{n-1} \\1 & \bar{\varepsilon }^{2} & \bar{\varepsilon } ^{4}& ... & \bar{\varepsilon }^{2(n-1)}\\ ... & ... & ...& ... & \\ 1& \bar{\varepsilon }^{n-1} &\bar{\varepsilon }^{2(n-1)} &... & \bar{\varepsilon }^{(n-1)(n-1)} \end{vmatrix}$
Nên
$A\bar{A}=\begin{vmatrix} n& 0 & 0 &... &0 \\ 0 & n & 0 & ...& 0\\... & ...& ...& ...& ...\\ ... & ... & ... & ... &... \\ 0& 0& 0 & ... &n \end{vmatrix}=n^{n}$
$\Rightarrow \prod_{0\leq j< k\leq n-1}\left ( \varepsilon ^{j}-\varepsilon ^{k} \right )\prod_{0\leq j< k\leq n-1}\overline{(\varepsilon ^{j}-\varepsilon ^{k})}=n^{n}$
$\prod_{0\leq j< k\leq n-1}\left | \varepsilon ^{j}-\varepsilon ^{k}\right |^{2}=n^{n}$.
Ta thấy:
$\left |\varepsilon ^{j} -\varepsilon ^{k} \right |^{2}=\left ( cos\frac{2\pi j}{n} -cos\frac{2\pi k}{n}\right)^{2}+\left (sin\frac{2\pi j}{n} -sin\frac{2\pi k}{n}\right )^{2}$
$=2\left ( 1-cos\frac{2\pi (j-k)}{n} \right )=\left [ 2sin\left ( \frac{j\pi }{n}-\frac{k\pi }{n} \right ) \right ]^{2}$
hay $\prod_{0\leq j< k\leq n-1}\left [ 2sin\left ( \frac{j\pi }{n}-\frac{k\pi }{n} \right )\right ]^{2}=n^{n}$
Lấy logarithm hai vế và sử dụng một chút biến đổi ta được đẳng thức đã nêu.
Dễ dàng nhận thấy rằng vế trái của đẳng thức này là tổng Riemann của tích phân cần tính ở đây ta đã sử dụng phân hoạch đều:
Do đó:
$\int \int_{D}ln\left | sin(x-y) \right |dxdy=lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \frac{\pi ^{2}}{2n} lnn-\left ( 1-\frac{1}{n} \right )\frac{{\pi ^{2}}}{2}ln2\right ]$$=-\frac{\pi ^{2}}{2}ln2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 04-05-2015 - 23:31
