Bài toán. (PUTNAM 2011) Cho $a_{1},a_{2},...a_{n}$ là các số thực thỏa mãn
$\int_{-\infty }^{\infty }\left ( \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\left ( x-a_{i} \right )^{2}}\right )^{2}dx\leqslant An$ với mọi n , trong đó A là một hằng số dương .
Chứng minh rằng tồn tại hằng số B dương thỏa $\sum_{i,j=1}^{n}\left ( 1+\left ( a_{i}-a_{j} \right )^{2} \right )\geq Bn^{3}$.
Lời giải.
Với $a\neq 0$, $\int_{-\infty }^{\infty }\frac{du}{\left ( 1+\left ( u+a \right )^{2} \right )\left ( 1+\left ( u-a \right )^{2} \right )}=\frac{1}{4a(1+a^{2})}\int_{-\infty }^{\infty }\left [ \frac{u+a}{1+\left ( u+a\right )^{2}}-\frac{u-a}{1+\left ( u-a \right )^{2}} \right ]du$$=\frac{1}{4a\left ( 1+a^{2} \right )}\left [ \frac{1}{2}ln\frac{1+\left ( u+a \right )^{2}}{1+(u-a)^{2}} +aarctan(u+a)+aarctan(u-a)\right ]_{-\infty }^{\infty }$$=\frac{\pi }{2(1+a^{2})}$.
Sử dụng phép đổi biến: $x=u+\frac{a+b}{2}$ ta được
$\int_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{(1+(x-a)^{2})(1+(x-b)^{2})}=\frac{2\pi }{4+(a-b)^{2}}$, trong đó $a\neq b$
Trong trường hợp a=b
$\int_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{(1+(x-a)^{2})^{2}}=\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\frac{1}{cos^{2}\theta }d\theta }{\frac{1}{cos^{4}\theta }}=\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos^{2}\theta d\theta =\frac{\pi }{2}$
nên côn thức trên cũng đúng với mọi cặp số a,b.
Ta có
$An\geq \int_{-\infty }^{\infty }\left [ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+(x-a_{i})^{2}}\right ]^{2}dx=\sum_{i,j=1}^{n}\int_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{(1+(x-a_{i})^{2})(1+(x-a_{j})^{2})}$$=\sum_{i,j=1}^{n}\frac{2\pi }{4+(a_{i}-a_{j})^{2}}\geq \frac{\pi }{2}\sum_{i,j=1}^{n}\frac{1}{1+\left ( a_{i}-a_{j} \right )^{2}}$
Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc Cauchy- Schwarz
$n^{4}\leq \left [ \sum_{i,j=1}^{n}\frac{1}{1+(a_{i}-a_{j})^{2}} \right ]\sum_{i,j=1}^{n}(1+(a_{i}-a_{j})^{2})\leq \frac{2An}{\pi }\sum_{i,j=1}^{n}(1+(a_{i}-a_{j})^{2})$
Chọn $B=\frac{\pi }{2A}$ . thì điều kiện bài toán được thỏa mãn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 04-05-2015 - 23:32
