Chủ đề này có 1 trả lời

[dangthanhbn]

Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{(a+b)(a+b+2c)}{(3a+3b+2c)^2}$

 

[binhnhaukhong]

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}\geq \frac{(3a+3b+2c)^2}{(a+b)(a+b+2c)}$

 

Ta có: $\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+2=\frac{(a+b)^2}{c(a+b)}+\frac{(b+c)^2}{a(b+c)}+\frac{(c+a)^2}{b(a+c)}+\frac{a^2}{a^2}+\frac{b^2}{b^2}$

 

Do đó áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

 

$\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}\geq \frac{[(a+b)+(b+c)+(a+c)+a+b]^2}{c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)+a^2+b^2}=\frac{(3a+3b+2c)^2}{(a+b)(a+b+2c)}$

 

Bài toán được chứng minh xong, đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$