Bài toán. Giải hệ phương trình vi phân
$x^{''}-y^{'}+x=0$
$y^{''}+x^{'}+y=0$
trong đó x(t) , y(t) là các hàm nhận giá trị thực.
Lời giải. Nhân phương trình thứ hai cho i và cộng với phương trình thứ nhất ta được
$\left ( x+iy \right )^{''}+i\left ( x+iy \right )^{'}+\left ( x+iy \right )=0$
Bằng cách đặt $z=x+iy$ đẳng thức trên trở thành một phương trình vi phân cấp 2 theo biến hàm mới - z.
$z^{''}+iz^{'}+z=0$
Phương trình đặc trưng $\lambda ^{2}+i\lambda +1=0\Rightarrow \lambda _{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}i$
Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng
$z(t)=\left ( a+ib \right )exp\left ( \frac{-1+\sqrt{5}}{2}it \right )+\left ( c+id \right )exp\left ( \frac{-1-\sqrt{5}}{2}it \right )$
Lưu ý rằng ta đang xét x(t), y(t) là các hàm nhận giá trị thực. Thực hiện khai triển và đối chiếu phần thực , phần ảo ta thu được dạng tồng quát của nghiệm phương trình ban đầu
$x(t)=acos\frac{-1+\sqrt{5}}{2}t-bsin\frac{-1+\sqrt{5}}{2}t+ccos\frac{-1-\sqrt{5}}{2}t-dsin\frac{-1-\sqrt{5}}{2}t$
$y(t)=asin\frac{-1+\sqrt{5}}{2}t+bcos\frac{-1+\sqrt{5}}{2}t+csin\frac{-1-\sqrt{5}}{2}t+dcos\frac{-1-\sqrt{5}}{2}t$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sinh vien: 07-05-2015 - 16:44
