ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM 2015
Môn thi: Toán
Ngày thi thứ nhất
Câu I: Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $3^p+4^p$ là số chính phương
Câu II. Cho tam giác $ABC$ tâm nội tiếp $(I)$ và $AI$ cắt $BC$ tại $D$. Một đường thẳng đi qua $A$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$ tại $P,Q$ sao cho $P$ nằm giữa $A,Q$.
a) CMR tích $DP.DQ$ không đổi khi $P,Q$ thay đổi
b) Giả sử đoạn thẳng $PQ$ cắt đoạn thẳng $BD$. Trên đoạn $DB$ lấy điểm $M$ sao cho $DM=DP$. Lấy $R$ đối xứng $M$ qua trung điểm $BC$. $(ADR)$ cắt $(IBC)$ tại $S,T$ . $ST$ cắt $BC$ tại $N$. CMR tam giác $DNQ$ cân.
Câu III. Hai bạn An và Bình chơi một trò chơi trên bảng vuông kích thước $3\times 2015$ ( $3$ hàng và $2015$ cột) . Hai người chơi lần lượt, An đi trước. Mỗi lần chơi, An đặt vào bảng một hình chữ nhật ngang $1\times 3$ và Bình đặt vào bảng một hình chữ nhật dọc $3\times 1$. Các hình chữ nhật được đặt vào không được chồng lên nhau. Ai đến lượt mình mà không đặt được hình chữ nhật là thua. Giả sử rằng cả hai bạn đều chơi rất giỏi. Hỏi ai có chiến thuật để chắc chắn dành được chiến thắng?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 09-05-2015 - 11:39