Chủ đề này có 9 trả lời

[Nguyen Minh Hai]

Cho hình bình hành $ABCD$ có diện tích $2S (S > 0)$. Gọi $M$ là điểm tùy ý trên cạnh $AB (M \neq A, M \neq B)$. Gọi $P$ là giao điểm của $MC$ và $BD$, $Q$ là giao điểm của $MD$ và $AC$. Xác định vị  trí của điểm $M$ trên cạnh $AB$ sao cho tứ giác $CPQD$ có diện tích nhỏ nhất.

[dogsteven]

Gợi ý. $\dfrac{MQ}{QD}+\dfrac{MP}{PC}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 11-05-2015 - 13:00

[Thu Huyen 21]

 

Cho hình bình hành $ABCD$ có diện tích $2S (S > 0)$. Gọi $M$ là điểm tùy ý trên cạnh $AB (M \neq A, M \neq B)$. Gọi $P$ là giao điểm của $MC$ và $BD$, $Q$ là giao điểm của $MD$ và $AC$. Xác định vị  trí của điểm $M$ trên cạnh $AB$ sao cho tứ giác $CPQD$ có diện tích nhỏ nhất.

 

 

Ta có: ${S_{MCD}}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$
Suy ra ${S_{MCD}}$ không đổi
=> Tứ giác $CPQD$ có diện tích nhỏ nhất khi tam giác MPQ có diện tích lớn nhất
Ta có: $\frac{S_{MPQ}}{S_{MCD}}=\frac{S_{MPQ}}{S_{MDP}}.\frac{S_{MPD}}{S_{MCD}}= \dfrac{MQ}{QD}.\dfrac{MP}{PC}\leq \frac{ (\frac{MQ}{QD}+\frac{MP}{PC})^{2}}{4}$

= $\frac{1}{4}$

Vậy Min $S_{CPQD}=\frac{7}{8}.\frac{S}{ABCD}$ khi $\frac{MP}{PC}= \frac{MQ}{QD}\Rightarrow \frac{MB}{CD}= \frac{AM}{CD}\Rightarrow$ M là trung điểm AB

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thu Huyen 21: 15-05-2015 - 09:30

[Phung Quang Minh]

Ta có: ${S_{MCD}}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$
Suy ra ${S_{MCD}}$ không đổi
=> Tứ giác $CPQD$ có diện tích nhỏ nhất khi tam giác MPQ có diện tích lớn nhất
Ta có: $\frac{S_{MPQ}}{S_{ABCD}}=\frac{S_{MPQ}}{S_{MDP}}.\frac{S_{MPD}}{S_{MCD}}= \dfrac{MQ}{QD}.\dfrac{MP}{PC}\leq \frac{ (\frac{MQ}{QD}+\frac{MP}{PC})^{2}}{4}= \frac{1}{4}=1$
Vậy min $S_{MPQ}$  là  $S_{ABCD}:4$ khi $\frac{MP}{PC}= \frac{MQ}{QD}\Rightarrow \frac{MB}{CD}= \frac{AM}{CD}\Rightarrow$ M là trung điểm AB

-Bạn ơi sao $\frac{1}{4} = 1$ vậy?

[Hoangtheson2611]

Ta có: ${S_{MCD}}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$
Suy ra ${S_{MCD}}$ không đổi
=> Tứ giác $CPQD$ có diện tích nhỏ nhất khi tam giác MPQ có diện tích lớn nhất
Ta có: $\frac{S_{MPQ}}{S_{ABCD}}=\frac{S_{MPQ}}{S_{MDP}}.\frac{S_{MPD}}{S_{MCD}}= \dfrac{MQ}{QD}.\dfrac{MP}{PC}\leq \frac{ (\frac{MQ}{QD}+\frac{MP}{PC})^{2}}{4}= \frac{1}{4}=1$
Vậy min $S_{MPQ}$ là  ${S_{ABCD}:4$ khi $\frac{MP}{PC}= \frac{MQ}{QD}\Rightarrow \frac{MB}{CD}= \frac{AM}{CD}\Rightarrow$ M là trung điểm AB

Dòng thứ 2 từ dưới lên phải là $\frac{S_{MQP}}{S_{MDC}}$

[Thu Huyen 21]

-Bạn ơi sao $\frac{1}{4} = 1$ vậy?

 

 

Dòng thứ 2 từ dưới lên phải là $\frac{S_{MQP}}{S_{MDC}}$

Cảm ơn 2 bạn. Đã sửa

[NPTV1207]

Ta có: ${S_{MCD}}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$
Suy ra ${S_{MCD}}$ không đổi
=> Tứ giác $CPQD$ có diện tích nhỏ nhất khi tam giác MPQ có diện tích lớn nhất
Ta có: $\frac{S_{MPQ}}{S_{MCD}}=\frac{S_{MPQ}}{S_{MDP}}.\frac{S_{MPD}}{S_{MCD}}= \dfrac{MQ}{QD}.\dfrac{MP}{PC}\leq \frac{ (\frac{MQ}{QD}+\frac{MP}{PC})^{2}}{4}$

= $\frac{S_{MCD}}{4}$

Vậy min $$S_{MPQ}=S_{ABCD}:4$$ khi $\frac{MP}{PC}= \frac{MQ}{QD}\Rightarrow \frac{MB}{CD}= \frac{AM}{CD}\Rightarrow$ M là trung điểm AB

$\frac{S_{MPQ}}{S_{ABCD}}=\frac{S_{MPQ}}{S_{MCD}}.\frac{S_{MCD}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{8}$

Vậy Min $S_{MPQ}=\frac{S_{ABCD}}{8}$

$\Rightarrow$ Max $S_{CPQD}=\frac{7}{8}.\frac{S}{ABCD}$

[Phung Quang Minh]

Ta có: ${S_{MCD}}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$
Suy ra ${S_{MCD}}$ không đổi
=> Tứ giác $CPQD$ có diện tích nhỏ nhất khi tam giác MPQ có diện tích lớn nhất
Ta có: $\frac{S_{MPQ}}{S_{MCD}}=\frac{S_{MPQ}}{S_{MDP}}.\frac{S_{MPD}}{S_{MCD}}= \dfrac{MQ}{QD}.\dfrac{MP}{PC}\leq \frac{ (\frac{MQ}{QD}+\frac{MP}{PC})^{2}}{4}$

= $\frac{S_{MCD}}{4}$

Vậy min $$S_{MPQ}=S_{ABCD}:4$$ khi $\frac{MP}{PC}= \frac{MQ}{QD}\Rightarrow \frac{MB}{CD}= \frac{AM}{CD}\Rightarrow$ M là trung điểm AB

 

Ta có: ${S_{MCD}}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$
Suy ra ${S_{MCD}}$ không đổi
=> Tứ giác $CPQD$ có diện tích nhỏ nhất khi tam giác MPQ có diện tích lớn nhất
Ta có: $\frac{S_{MPQ}}{S_{MCD}}=\frac{S_{MPQ}}{S_{MDP}}.\frac{S_{MPD}}{S_{MCD}}= \dfrac{MQ}{QD}.\dfrac{MP}{PC}\leq \frac{ (\frac{MQ}{QD}+\frac{MP}{PC})^{2}}{4}$

= $\frac{S_{MCD}}{4}$

Vậy min $$S_{MPQ}=S_{ABCD}:4$$ khi $\frac{MP}{PC}= \frac{MQ}{QD}\Rightarrow \frac{MB}{CD}= \frac{AM}{CD}\Rightarrow$ M là trung điểm AB

-Sao $\frac{{{{(\frac{{MQ}}{{QD}} + \frac{{MP}}{{PC}})}^2}}}{4} = \frac{{S(MCD)}}{4}$ vậy bạn?

[Thu Huyen 21]

-Sao $\frac{{{{(\frac{{MQ}}{{QD}} + \frac{{MP}}{{PC}})}^2}}}{4} = \frac{{S(MCD)}}{4}$ vậy bạn?

 

 

$\frac{S_{MPQ}}{S_{ABCD}}=\frac{S_{MPQ}}{S_{MCD}}.\frac{S_{MCD}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{8}$

Vậy Min $S_{MPQ}=\frac{S_{ABCD}}{8}$

$\Rightarrow$ Max $S_{CPQD}=\frac{7}{8}.\frac{S}{ABCD}$

 Cảm ơn 2 bạn, đã sửa lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thu Huyen 21: 15-05-2015 - 09:27

[Thu Huyen 21]

$\frac{S_{MPQ}}{S_{ABCD}}=\frac{S_{MPQ}}{S_{MCD}}.\frac{S_{MCD}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{8}$

Vậy Min $S_{MPQ}=\frac{S_{ABCD}}{8}$

$\Rightarrow$ Max $S_{CPQD}=\frac{7}{8}.\frac{S}{ABCD}$

Hai chỗ Min max trên phải đổi chỗ cho nhau chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thu Huyen 21: 15-05-2015 - 09:31