Chủ đề này có 2 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

Gọi $a,b,c$ là $3$ cạnh của một tam giác và $h_{a};h_{b};h_{c}$ là các đường cao tương ứng

Chứng minh hệ thức $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=(h_{a}+h_{b}+h_{c})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}})$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 11-05-2015 - 15:14

[hoanglong2k]

Gọi $a,b,c$ là $3$ cạnh của một tam giác và $h_{a};h_{b};h_{c}$ là các đường cao tương ứng

Chứng minh hệ thức $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=(h_{a}+h_{b}+h_{c})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}})$

Ta có : $2S=a.h_a=b.h_b=c.h_c$

$=> \frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a};\frac{b}{c}=\frac{h_c}{h_b};\frac{c}{a}=\frac{h_a}{h_c}$

Ở cái hệ thức thì nhân ra sẽ thấy ngay điều cần chứng minh

[Dinh Xuan Hung]

Gọi $a,b,c$ là $3$ cạnh của một tam giác và $h_{a};h_{b};h_{c}$ là các đường cao tương ứng

Chứng minh hệ thức $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=(h_{a}+h_{b}+h_{c})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}})$

Ta có:$a.h_a=b.h_b=c.h_c=2S\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} h_a=\frac{2S}{a} & & & \\ h_b=\frac{2S}{b} & & & \\ h_c=\frac{2S}{c} & & & \end{matrix}\right.$

Khi đó:

$(h_a+h_b+h_c)\left ( \frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c} \right )=\left ( \frac{2S}{a}+\frac{2S}{b}+\frac{2S}{c} \right )\left ( \frac{a}{2S}+\frac{b}{2S}+\frac{2S}{c} \right )=2S.\frac{1}{2S}(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$