Bài toán ( Putnam 2013 ). Cho các số thực $a_{0},a_{1},...a_{n}$ và số thực x thỏa 0 <x<1 , sao cho
$\frac{a_{0}}{1-x}+\frac{a_{1}}{1-x^{2}}+\frac{a_{2}}{1-x^{3}}+...+\frac{a_{n}}{1-x^{n+1}}=0$
Chứng minh rằng:Đa thức $a_{0}+a_{1}y+a_{2}y^{2}+...+a_{n}y^{n}=0$ có nghiệm trong khoảng (0,1)
Lời giải. Gỉa sử ngược lại đa thức $f(y)=a_{0}+a_{1}y+a_{2}y^{2}+...+a_{n}y^{n}$ không có nghiệm trong khoảng (0,1 ) thì do f là hàm liên tục nên f giữ nguyên dấu trên khoảng (0,1) ( có nghĩa là chỉ mang dấu dương hoặc chỉ âm ) . Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử f(y)>0 với mọi 0<y<1
( nếu f(y)<0 thì ta có thể xét đa thức -f(y) thì các giả thiết và kết luận của bài toán không đổi )
Do đó :$f(x^{k})>0,k\geq 1.$
Lưu ý đến bất đẳng thức :$0< x^{k}< x< 1$.
Quan trọng hơn cả là $f(x^{0})=f(1)=lim_{y\rightarrow 1^{-}}f(y)\geqslant 0$
Ta có biến đổi sau
$\sum_{0\leq i\leq n}\frac{a_{i}}{1-x^{i+1}}=\sum_{0\leq i\leqslant n}\sum_{k\geq 0}a_{i}x^{(i+1)k}=\sum_{k\geq 0}\sum_{0\leq i\leq n}a_{i}x^{(i+1)k}=\sum_{k\geq 0}x^{k}\sum_{0\leq i\leq n}a_{i}x^{ik}=\sum_{k\geq 0}x^{k}f(x^{k})> 0$
Lưu ý rằng theo nhận xét ở trên thì trong đẳng thức cuối cùng số hạng thứ nhất không âm còn tất cả các số hạng còn lại đều dương.
Bất đẳng thức trên mâu thuẫn với điều kiện ở đầu bài . Do đó ta được điều phải chứng minh
