Bài toán.(Putnam 1958) Chứng minh rằng phương trình tích phân sau nếu có nghiệm thuộc lớp hàm liên tục trên hình vuông $[0,1]\times [0,1]$.
$f(x,y)=1+\int_{0}^{x}\int_{0}^{y}f(u,v)dudv$
thì nghiệm đó là duy nhất.
Lời giải . Gỉa sử $f_{1}(x,y),f_{2}(x,y)$ là hai nghiệm bất kỳ của phương trình tích phân đã cho. Đặt $g(x,y)=f_{1}(x,y)-f_{2}(x,y)$. Ta thấy
$g(x,y)=\left ( 1+\int_{0}^{x}\int_{0}^{y}f_{1}(u,v)dudv \right )-\left ( 1+\int_{0}^{x}\int_{0}^{y}f_{2}(u,v)dudv \right )$
$=\int_{0}^{x}\int_{0}^{y}\left ( f_{1}(u,v)-f_{2}(u,v) \right )dudv=\int_{0}^{x}\int_{0}^{y}g(x,y)dxdy$
Dễ dàng nhận thấy g(x,y) cũng là một hàm liên tục trên $[0,1]\times [0,1]$ nên g(x,y) bị chặn
hay nói cách khác tồn tại M sao cho $\left | g(x,y) \right |\leq M$ với mọi $(x,y)\in [0,1]\times [0,1]$
Ta sẽ chứng minh quy nạp kết quả then chốt sau : $\left | g(x,y) \right |\leq M\frac{x^{n}}{n!}\frac{y^{n}}{n!}$ với mọi số nguyên dương n
Với n=1 , kết quả hiển nhiên.
Gỉa sử kết quả đúng với n=k . Ta cần chứng minh nó cũng đúng cho n=k+1. Ta thấy
$\left | g(x,y) \right |\leqslant \left | \int_{0}^{x}\int_{0}^{y}g(u,v)dudv \right |\leq \int_{0}^{x}\int_{0}^{y}M\frac{u^{k}}{k!}\frac{v^{k}}{k!}dudv=M\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\frac{y^{k+1}}{(k+1)!}$
Vậy kết quả cũng đúng với n=k+1
Từ kết quả trên nếu ta cố định bộ số (x,y) , qua giới hạn khi $n\rightarrow \infty$ , ta suy ra $\left | g(x,y) \right |\leq 0\Rightarrow g(x,y)=0$
Nhận xét này chứng tỏ rằng phương trình tích phân đã cho không thể có hai nghiệm phân biệt .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sinh vien: 14-05-2015 - 17:43
