Vành chính và vành đa thức nhiều biến
#1
Đã gửi 16-05-2015 - 08:00
#2
Đã gửi 16-05-2015 - 11:34
Cho R là trường số thực. Cmr vành đa thức R[ x,y] không là vành chính ?
Ta chứng minh $m=(x,y)$ không phải là principal. Có nhiều cách để thấy điều này. Dùng dao giết trâu thì ta có thể dùng Krull Principal Ideal theorem, ta thấy nếu $m$ principal thì height của $m$ chỉ có thể tối đa là $1$, điều này vô lý, vì height của $m$ là $2$ ($0 \subsetneq (x) \subsetneq m$).
Cơ bản hơn thì giả sử $m=(f)$ với $f$ là 1 đa thức trong $R[x,y]$. Ta thấy $x \in (f)$ nên $f | x$ nên degree của $f$ chỉ có thể là $0$ hoặc $1$. Degree của $f$ không thể bằng $0$ vì khi đó $f \in R$ và $(f)= R[x,y]$. Nên degree của $f$ phải là $1$, và trong $R[x,y]$ đa thức có degree $1$ chỉ có thể là $x$ hoặc $y$. ta dễ thấy $(x) \ne m$ và $(y) \ne m$. Nên $m$ không phải principal.
- thuylinh_909 yêu thích
#3
Đã gửi 20-05-2015 - 12:33
- thuylinh_909 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh