Chủ đề này có 1 trả lời

[sinh vien]

Bài toán .(AVJ- 2015)

  Tìm tất cả các số thực x sao cho chuỗi sau hội tụ

    $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \sum_{k_{1},..,k_{n}\geq 0,k_{1}+2k_{2}+...+nk_{n}=n}\frac{(k_{1}+...+k_{n})!}{k_{1}!...k_{n}!}x^{k_{1}+...+k_{n}}\right )$

  Tìm tổng của chuỗi khi nó hội tụ

Lưu ý với các bạn là có một bản chứng minh công thức Faa di Bruno bằng tiếng việt trong cuốn bài tập giải tích tập 2 trong phần '' Bộ tài liệu ôn thi olympic môn giải tích '' bằng phương pháp giải tích hàm

[sinh vien]

Bài toán sau đây là chìa khóa cho lời giải bài toán trên có thể tìm được lời giải tiếng việt trong tài liệu tham khảo đã dẫn.

Bài toán . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n và số thực x>0 ta luôn có

      $\sum_{k_{1},...,k_{n}\geq 0,k_{1}+2k_{2}+...+nk_{n}=n}\frac{(k_{1}+k_{2}+...+k_{n})!}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!}x^{k_{1}+k_{2}+..+k_{n}}=x(1+x)^{n-1}$

   Tiếp theo là một minh họa khác cho việc áp dụng công thức Faa di Bruno

Bài toán. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có

     $\sum_{k_{1},...,k_{n}\geq ;k_{1}+2k_{2}+...+nk_{n}=n}\frac{(-1)^{k_{1}+...+k_{n}}(k_{1}+...+k_{n})!}{k_{1}!k_{2}!..k_{n}!}\binom{\frac{1}{2}}{1}^{k_{1}}...\binom{\frac{1}{2}}{1}^{k_{n}}=2(n+1)\binom{\frac{1}{2}}{n+1}$

  Lưu ý $\binom{m}{k}=\frac{m(m-1)...(m-k+1)}{k!}$