12 replies to this topic

[caybutbixanh]

Bài 1: Cho x,y,z dương thỏa mãn $xyz=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của :

a,$P=x+y+z;$

b,$P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

c,$P=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}};$

Bài 2: Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.CMR:

a,$a^3+b^3+c^3 \geq a+b+c$

b,$a^3+b^3+c^3 \geq a^2+b^2+c^2$

c,$(a+\frac{1}{b}-1).(b+\frac{1}{c}-1).(c+\frac{1}{a}-1) \leq 1$

Bài 3 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR:

$\frac{a}{a+b-c}+\frac{b}{b+c-a}+\frac{c}{a+c-b} \geq 3$

Bài 4: Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=abc.$CMR:

$\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3} \geq 1$

[HoangVienDuy]

Bài 3 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR:

$\frac{a}{a+b-c}+\frac{b}{b+c-a}+\frac{c}{a+c-b} \geq 3$

$a+b-c=x;b+c-a=y;a+c-b=z$

bài toán viết thành:

$\frac{x+z}{2x}+\frac{x+y}{2y}+\frac{y+z}{2z}=\frac{1}{2}.\left ( 3+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z} \right )\geq \frac{1}{2}.(3+3)=3$

Edited by Super Fields, 20-05-2015 - 21:58.

[HoangVienDuy]

Bài 4: Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=abc.$CMR:

$\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3} \geq 1$

đặt $\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z$

nên :1=xy+yz+zx

Bài toán viết thành: $\sum \frac{y^{3}}{x}=\sum \frac{y^{4}}{xy}\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{\sum xy}\geq \sum x^{2}\geq \sum xy=1 $ (đpcm)

Edited by HoangVienDuy, 20-05-2015 - 22:04.

[Hoangphan]

 

Bài 4: Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=abc.$CMR:

$\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3} \geq 1$

$GT\leftrightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

Ta có:

 $\frac{a}{b^3}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\geq \frac{3}{ab}$

Tương tự, cộng lại ta được:

$\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3}+2(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geq 3(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$

Vì $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} => đpcm$

[hoctrocuaHolmes]

Bài 1: Cho x,y,z dương thỏa mãn $xyz=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của :

a,$P=x+y+z;$

b,$P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

c,$P=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}};$

Bài 2: Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.CMR:

a,$a^3+b^3+c^3 \geq a+b+c$

b,$a^3+b^3+c^3 \geq a^2+b^2+c^2$

c,$(a+\frac{1}{b}-1).(b+\frac{1}{c}-1).(c+\frac{1}{a}-1) \leq 1$

1.Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta có

a)$x+y+z\geq \sqrt[3]{xyz}=3 (xyz=1)$

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

b)$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}=3$ (vì $xyz=1$)

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

c)$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{xyz}}}=3$ (vì $xyz=1$)

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

[tonarinototoro]

$GT\leftrightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

Ta có:

 $\frac{a}{b^3}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\geq \frac{3}{ab}$

Tương tự, cộng lại ta được:

$\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3}+2(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geq 3(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$

Vì $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} => đpcm$

ngược dấu!

[tonarinototoro]

 

Bài 3 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR:

$\frac{a}{a+b-c}+\frac{b}{b+c-a}+\frac{c}{a+c-b} \geq 3$

 

cách khác

do $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên $a+b-c,b+c-a,c+a-b> 0$

áp dụng AM-GM có $\sum \frac{a}{a+b-c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )}}$

chỉ cần cm $abc\geq \coprod \left ( a+b-c \right )$ => cái này luôn đúng theo schur

hoặc cm = AM-GM có $\sqrt{\left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )}\leq \frac{a+b-c+b+c-a}{2}=\frac{2b}{2}=b$ thiết lập các bđt tương tự rồi nhân lại có đpcm

Edited by tonarinototoro, 20-05-2015 - 22:39.

[tonarinototoro]

Bài 4: Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=abc.$CMR:

$\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3} \geq 1$

gt$\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}= 1$

$\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{1}{ab}\geq \frac{3}{bc}$

thiết lập các bđt tương tự rồi cộng lại có $2\sum \frac{a}{b^{3}}+\sum \frac{1}{ab}\geq 3\sum \frac{1}{ab}\Rightarrow 2\sum \frac{a}{b^{3}}\geq 2\sum \frac{1}{ab}=2\Rightarrow$đpcm

[congdaoduy9a]

Bài 5 : Sẵn e xin post 1 câu này 

Cho các số thực thỏa mãn abc=1.CMR:

$\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$

[nguyenhongsonk612]

 

Bài 2: Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.CMR:

a,$a^3+b^3+c^3 \geq a+b+c$

b,$a^3+b^3+c^3 \geq a^2+b^2+c^2$

c,$(a+\frac{1}{b}-1).(b+\frac{1}{c}-1).(c+\frac{1}{a}-1) \leq 1$

 

$a)$ $AM-GM$: $a+b+c\geq 3$; $a^3+1+1\geq 3a$

$\Rightarrow VT\geq 3(a+b+c)-6\geq a+b+c\Leftrightarrow a+b+c\geq 3$ (đúng)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

$b)$ $AM-GM$: $a^3+a^3+1\geq 3a^2$

$\Rightarrow VT\geq 3(a^2+b^2+c^2)-3\geq 2(a^2+b^2+c^2)$ (đúng do $a^2+b^2+c^2\geq 3$)

$c)$ Đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$ 

BĐT $\Leftrightarrow (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leq xyz$

Đến đây có thể khai triển ra dùng Schur bậc $3$ nhưng mình sẽ đi theo hướng khác

Đặt $x+y-z=A;y+z-x=B;z+x-y=C$

Ta xét các TH sau 

+)TH $1$: Cả $3$ số $A, B, C$ đều âm $\Rightarrow ABC< 0\leq xyz$

+) TH $2$: Trong $A, B, C$ có ít nhất một số âm

Không mất tính tổng quát giả sử $A< 0\Leftrightarrow x+y< z$

Ta có $B=y+z-x> 2y> 0;C=z+x-y> 2x> 0$ $\Rightarrow ABC< 0\leq xyz$

+) TH $3$: Cả ba số $A, B, C$ đều dương

Đến đây ghép cặp rồi sử dụng $AM-GM$. BĐT này đã quen thuộc 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

[caybutbixanh]

1.Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta có

a)$x+y+z\geq \sqrt[3]{xyz}=3 (xyz=1)$

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

b)$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}=3$ (vì $xyz=1$)

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

c)$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{xyz}}}=3$ (vì $xyz=1$)

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

Thực sự thì ban đâu mình cũng nghĩ như vậy....nhưng sau lại thấy không ổn vì chẳng lẽ...dễ quá vậy...mấy bài này mình lấy trong chuyên đề BDT luyện thi đại học của thầy  Lê Xuân ĐẠi......

[leduylinh1998]

Bài 4: Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=abc.$CMR:

$\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3} \geq 1$

$(\sum \frac{a}{b^3})(\sum \frac{1}{ab})\geq \left ( \sum \frac{1}{b^2} \right )^2\geq \left (\sum  \frac{1}{ab} \right )^2$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{b^3}\geq \sum \frac{1}{ab}=1$

[tonarinototoro]

Bài 5 : Sẵn e xin post 1 câu này 

Cho các số thực thỏa mãn abc=1.CMR:

$\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$

 AM-GM $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

lại AM-GM có $\frac{a^{3}}{\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}+\frac{b+1}{8}+\frac{c+1}{8}\geq \frac{3}{4}a$

thiết lập thêm 2 bđt tương tự rồi cộng lại có $\sum \frac{a^{3}}{\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}+\frac{1}{4}\sum a+\frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}\sum a\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}\geq \frac{1}{2}\sum a-\frac{3}{4}\geq \frac{1}{2}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

đẳng thức xảy ra khi $"a=b=c=1"$