Bài toán (AVJ-2009) Cho k và n là hai số nguyên dương thỏa $k\leq n-1$ . Đặt $S=\left \{ 1,2,...,n \right \}$ và $A_{1},A_{2},..A_{k}$ là các tập con khác rỗng của S. Chứng minh rằng ta có thể tô màu một số phần tử của S bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ ( có thể có những phần tử không được tô màu) sao cho
i) Một phần tử bất kỳ của S hoặc không được tô màu hoặc được tô màu đỏ hoặc được tô màu xanh
ii) Có ít nhất một phần tử của S được tô màu
iii) Mọi tập $A_{i} (i=1,2...k)$ hoặc chứa toàn các số không được tô màu hoặc chứa ít nhất một cặp số mà mỗi số được tô bởi hai màu khác nhau
