Chủ đề này có 5 trả lời

[NhatTruong2405]

Với mọi số a,b,c dương ta có
$\sum\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}\geq1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 22-05-2015 - 20:50

[ducvipdh12]

$(a^3+b^3+c^3+24abc)(\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}})^2\geq (a+b+c)^3$

Ta cần chứng minh: $(a+b+c)^3\geq a^3+b^3+c^3+24abc\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(a+c)\geq 8abc$ đúng

[Hoang Nhat Tuan]

Với mọi số a,b,c dương ta có
$\sum\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}\geq1$

Sử dụng BĐT Holder ta có: 

$(\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}})(\sum a(a^2+8bc))\geq (a+b+c)^3$

Lại có: $(a+b+c)^3\geq a^3+b^3+c^3+24abc$ (biến đổi tương đương)

Từ đó => ĐPCM

[Hoang Nhat Tuan]

Ngoài ra câu này còn có một cách chứng minh bằng AM-GM:

$\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}=\sum \frac{2a(a+b+c)}{2(a+b+c)\sqrt{a^2+8bc}}\geq \sum \frac{2a(a+b+c)}{(a+b+c)^2+a^2+8bc}$

$\sum \frac{a}{(a+b+c)^2+a^2+8bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^3+a^3+b^3+c^3+24abc}$

Từ đó cũng => ĐPCM 

[khanghaxuan]

Có thể đi theo hướng sau : 

Đổi biến : $(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}};\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}};\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}})\rightarrow (x;y;z)$

Do đó ta có : $(1-x^{2})(1-y^{2})(1-z^{2})=512(xyz)^{2}(*)$

Ta cần chứng minh : $x+y+z\geq 1$

Tiếp theo ta giả sử : $x+y+z <1$ rồi sau đó đi CM $(*)$ không đúng

[tuananh2000]

Có thể nhóm theo $C-S$ 

$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}=\sum \frac{3a^{2}}{3a\sqrt{a^{2}+8bc}}\geq \sum \frac{6a^{2}}{10a^{2}+8bc}=\sum \frac{9a^{2}}{15a^{2}+12bc}\geq \frac{(3\sum a)^{2}}{15\sum a^{2}+12\sum ab} \geq \frac{(3\sum a^{2})}{27\sum a^{2}}\geq \frac{(3\sum a^{2})}{9(\sum a)^{2}}=1$