$1.$ Cho ba điểm $A, B, C$ trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và đường thẳng $d$ vuông góc với $AC$ tại $A$. Vẽ đường tròn đường kính $BC$ và trên đó lấy điểm $M$ bất kì. Tia $CM$ cắt đường thẳng $d$ tại $D$; Tia $AM$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai $N$; Tia $DB$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai $P$.
$a)$ Chứng minh: Tứ giác $ABMD$ nội tiếp được
$b)$ Chứng minh: Tích $CM.CD$ không phụ thuộc vào vị trí điểm $M$.
$c)$ Tứ giác $APND$ là hình gì? Tại sao?
$d)$ Chứng minh trọng tâm $G$ của tam giác $MAB$ chạy trên một đường tròn cố định.
$2.$ Cho đường tròn $(O)$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $AB, AC$ và cát tuyến $AMN$ với đường tròn ($B,C,M,N$ thuộc đường tròn và $AM<AN$). Gọi $E$ là trung điểm của dây $MN,I$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $CE$ với đường tròn.
$a)$ Chứng minh: Bốn điểm $A, O,E,C$ cùng thuộc một đường tròn.
$b)$ Chứng minh: góc $AOC$ bằng góc $BIC$
$c)$ Chứng minh: $BI//MN$
$d)$ Xác định vị trí cát tuyến $AMN$ để diện tích tam giác $AIN$ lớn nhất.
