Chủ đề này có 1 trả lời

[tahuudang8c]

Cho 3 số x, y, z khác 0 thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} \\ x+y+z=\frac{1}{2} \\ \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{xyz}=4 \\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} >0\end{matrix}\right.$

Tính giá trị biểu thức $P=(y^{2009}+z^{2009})(z^{2011}+x^{2011})(x^{2013}+y^{2013})$

[Pham Quoc Thang]

Đặt:$a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$
Suy ra:$a+b+c>0;\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$ hay $2(ab+bc+ca)=abc$.
Có:$a^2+b^2+c^2+abc=4$ nên $(a+b+c)^2=4$ mà vì $a+b+c>0$ nên $a+b+c=2$
Suy ra:$(a+b+c)(ab+bc+ca)=abc$ nên $a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc=0 \Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0 $
Trường hợp 1:$a+b=0$ khi đó thì $x+y=0$ nên $x^{2009}+y^{2009}=0$
Tương tự với 2 trường hợp còn lại,cuối cùng ta được $P=0$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pham Quoc Thang: 24-05-2015 - 19:59