Chủ đề này có 18 trả lời

[ngocanhnguyen10]

Hôm qua ngồi xem lại box đại số, thấy có nhiều bài toán khá hay đã được đăng lâu rồi mà không có lời giải. Mình tổng hợp lại thành một topic để các bạn cùng thảo luận. Cũng có topic như thế này rồi nhưng đã được đăng lâu rồi hơn nữa lại bị khóa. Các bạn thảo luận sôi nổi để ủng hộ topic nhé!

 

 

1) Cho đa thức $P_{(x)}=x^{2}+bx+c$    $(b;c\in \mathbb{Z})$

Biết rằng $(x^{4}+6x^{2}+25)\vdots P_{(x)}$ và $(3x^{4}+4x^{2}+28x+5)\vdots P(x)$

Tính $P_{(-2)}$

 

2) Cho các phương trình : $x^{2}+ax+1=0;x^{2}+bx+1=0;x^{2}+cx+1=0$

Biết rằng tích của một nghiện của phương trình thứ nhất với một nghiệm của phương trình thứ hai là một nghiệm của phương trình thứ ba.

CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$

 

3) Giải phương trình: $x^{4}-8x-9=0$

 

4) Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^{5}+y^{5}=120y+3$

 

5) Rút gọn: $\frac{1}{(x+y)^{3}}\left (\frac{1}{x^{4}}-\frac{1}{y^{4}} \right )+\frac{2}{(x+y)^{4}}\left ( \frac{1}{x^{3}}-\frac{1}{y^{3}} \right )+\frac{1}{(x+y)^{5}}\left ( \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}} \right )$

 

6) Biết $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình: $x^{2}-Sx+P=0$

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $x_{1}^{16}$ và $x_{2}^{16}$

 

7) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $2(2x^{2}+1)=(y-x)(x^{2}+xy+y^{2}-1)$

 

8) Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}-2}=\sqrt[3]{2-x^{3}}$

 

9) Giải phương trình: $x^{4}+ax^{3}+bx+c=0$ trong đó $a^{3}+8b=0$

 

10) Cho a; b; c là các số thực thỏa mãn: $-1\leq a,b,c\leq 4; a+2b+3c\leq 4$

Tìm GTNN của $a^{2}+2b^{2}+3c^{2}$

 

11) Cho a; b; c là các số thực $(a\neq b)$ sao cho hai phương trình $x^{2}+ax+1=0, x^{2}+bx+c=0$ có nghiệm chung và hai phương trình $x^{2}+x+a=0;x^{2}+cx+b=0$ có nghiệm chung

Tính a + b + c

 

12) Cho a; b; c dương. CMR: $\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+C}\geq 5$

 

13) Cho hai đường thẳng $(d_{1}):2m-1$ và $(d_{2}):4x-3y=m+1$

a. CMR: Với m thay đổi thì d₁ và d₂ luôn cắt nhau tại M

b. CMR: M nằm trên một đường thẳng cố định

c. Gọi tọa độ của M(x₁;y₁). Tìm GTNN của $Q=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$

 

14) Cho tam giác ABC có $2cotB=cotA+cotC.$

CMR: $cot^{6}A+cot^{6}C\geq 2cot^{6}B$

 

15) Cho tam giác ABC có $a\geq b\geq c\geq 1$

CMR: $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq abc$

 

16) Tìm nghiệm nguyên dương: $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=1$

 

17) Tìm nghiệm nguyên: $x^{2}+y^{2}=xy+2x+3y-2$

 

18) Giả sử phương trình: $x^{2}+ax+b=0$ có hai nghiệm lớn hơn 1

CMR: $\frac{a^{2}-a-2b}{b-a+1}\geq \frac{2\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}}$

 

19) Cho a; b; c thỏa mãn $a\leq b\leq c$ và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Tìm GTNN $P=ab^{2}c^{3}$

 

20) Cho $a=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}+\sqrt[3]{1-\sqrt{11}}$

CMR: $a^{9}-6a^{6}+282a^{3}=8$

 

21) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} xy^{2}-2y+3x^{2}=0 & & \\ y^{2}+x^{2}y+2x=0& & \end{matrix}\right.$

 

22) Tìm x; y; z; t nguyên  $\left\{\begin{matrix} xy-3zt=1 & & \\ xz+yt=2 & & \end{matrix}\right.$

 

23) Tìm GTLN của biểu thức $\sqrt{4x-x^{3}}+\sqrt{x+x^{3}}$ với $0\leq x\leq 2$

 

24) Cho phương trình: $\frac{mx^{2}+(m-3)x+2m-1}{x+3}=0$

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho $21x_{1}+7m(2+x_{2}+x_{2}^{2})=58$

 

25) Giả sử a, b, c, d là các số thự dương thỏa mãn: abc + bcd + cad + bad = 1

Tìm GTNN của: $P=4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+9d^{3}$

 

26) Giải phương trình: $x^{2}-4xy+5y^{2}+20x-22y+12=0$

 

27) Cho phương trình: $2013x^{2}-(m-2014)x-2015=0$

Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: $\sqrt{x_{1}^{2}+2014}-x_{1}=\sqrt{x_{2}^{2}+2014}+x_{2}$

 

28) Cho x; y; z; t là 4 số dương nhỏ hơn 1, thỏa mãn: xyzt = (1 - x)(1 - y)(1 - z)(1 - t)

CMR: $x(1-t)+t(1-z)+z(1-y)+y(1-x)\geq 1$

 

29) Tìm các bộ số tự nhiên $(a_{1};a_{2};...a_{2014})$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} a_{1}+a_{2}+...+a_{2014}\geq 2014^{2} & & \\ a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{2014}^{2}\leq 2014^{3}+1 & & \end{matrix}\right.$

 

30) Tìm giao điểm của hai đường thẳng $\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}x+2y-1=0$ và $\sqrt{1-\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}}.x+2\sqrt[3]{1-\sqrt{8}}.y=0$

 

31) Rút gọn: $\frac{(x-y)^{2}-3xy(x+y)+y^{3}}{x-6y}$

 

32) CMR: $174^{2n-1}+1212.1037^{2n+1}\vdots 3633$           $\left (n\in \mathbb{N};n\neq 0 \right )$

 

33) CMR: $\frac{1}{5}+\frac{1}{15}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{1985}<\frac{9}{20}$

 

34) CMR: $80t^{4}+20t^{3}-18t^{2}-9t+8\geq 0$  với mọi t

 

35) Cho a; b; c đôi một khác nhau

Giải phương trình: $\frac{(b-c)(1+a^{2})}{x+a^{2}}+\frac{(c-a)(1+b^{2})}{x+b^{2}}+\frac{(a-b)(1+c^{2})}{x+c^{2}}=0$

 

Vẫn còn nữa...) nhưng tạm thế này thôi nhé! Bạn nào có thêm bài thì đăng vào cho topic thêm phong phú nha

[MathSpace001]

Sao topic này đăng lâu rồi mà không có ai bình luận nhỉ?

[Hoang Nhat Tuan]

Câu 25 giải rồi mà   http://diendantoanho...ãn-5x28y220412/

[Hoang Nhat Tuan]

Câu 15: $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq a.\frac{b-1+1}{2}+b.\frac{a-1+1}{2}=ab\leq abc$

[MathSpace001]

C35,   Đặt biểu thức đó là A

 $A= \frac{\left ( b-c \right )\left ( 1+a^{2} \right )}{x+a^{2}}-\frac{\left ( b-c \right )\left ( 1+b^{2} \right )}{x+b^{2}}-\frac{\left ( a-b \right )\left ( 1+b^{2} \right )}{x+b^{2}}+\frac{\left ( a-b \right )\left ( 1+c^{2} \right )}{x+c^{2}}$

Đặt b-c và a-b làm nhân tử chung rồi qui đồng thì sẽ ra kết quả là x=ab+bc+ca

[MathSpace001]

C32        

Ta có A= 174^2n-1+1212.1037²ⁿ⁺¹phải chia hết cho 3 và 1211 vì (3;1211)=1 và 3.1211=3633

+)    1+7+4=12$\vdots 3$; 1+2+1+2=6$\vdots 3$=> A chia hết cho 3

+)     1211$\equiv 1(mod 1211)$; 174$\equiv -1037(mod 1211)$=> A$\equiv$1037²ⁿ⁺¹-1037^2n-1=1037²ⁿ(1037-$\frac{1}{1037}$) chia hết cho 1211

=> A chia hết cho 3633

[MathSpace001]

C23 Áp dụng BĐT BCS ta có$\left ( \sqrt{4x-x^{3}}+\sqrt{x+x^{3}} \right )^{2}=\left ( \sqrt{x}.\sqrt{4-x^{2}}+\sqrt{x}.\sqrt{1+x^{2}} \right )^{2}\leq \left ( x+x \right )\left ( 4-x^{2} +1+x^{2}\right )\leq 4.5=20 => Max=\sqrt{20}

Đẳng thức xảy ra <=> 0\leq x\leq 2$

[Quoc Tuan Qbdh]

Câu 34 hình như không có dấu $"="$     

[congdaoduy9a]

Câu 16:

 Chỉ cần xét x=1 không tm

Xét $x,y,z\geq 2\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\leq \frac{3}{4}< 1$

Do đó pt vô nghiệm 

[Quoc Tuan Qbdh]

#lề : bạn cho tớ link chính của câu 11 được không   

[Angel of Han Han]

Câu 3: Không biết đúng hay không.

$x^4-8x-9=0$

$\Leftrightarrow x^4+x^3-x^3-x^2+x^2-1-8x-8=0$$\Leftrightarrow x^3(x+1)-x^2(x+1)+(x-1)(x+1)-8(x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x+1)(x^3-x^2+x-9)=0$

Hoặc $x=-1$

Hoặc $x^3-x^2+x-9=0$ ( hình như giải ra nghiệm mà thế vào phương trình đầu không đúng)=> (VN)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x=-1

[ngocanhnguyen10]

Câu 3: Không biết đúng hay không.

$x^4-8x-9=0$

$\Leftrightarrow x^4+x^3-x^3-x^2+x^2-1-8x-8=0$$\Leftrightarrow x^3(x+1)-x^2(x+1)+(x-1)(x+1)-8(x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x+1)(x^3-x^2+x-9)=0$

Hoặc $x=-1$

Hoặc $x^3-x^2+x-9=0$ ( hình như giải ra nghiệm mà thế vào phương trình đầu không đúng)=> (VN)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x=-1

Bấm máy tính còn 1 nghiệm nữa là 2,285473352..... nhưng ko biết cách giải 

[ngocanhnguyen10]

1)

Vì $x^{4}+6x^{2}+25\vdots P\Rightarrow 3x^{4}+18x^{2}+75\vdots P\Rightarrow (3x^{4}+18x^{2}+75)-(3x^{4}+4x^{2}+28x+5)\vdots P\Leftrightarrow 14x^{2}-28x+70\vdots P\Leftrightarrow x^{2}-2x+5\vdots P$

Hay $(x^{2}-2x+5)\vdots (x^{2}+bx+c)$. Mà b;c nguyên $\Rightarrow b=-2;c=5$

$\Rightarrow P(x)=x^{2}-2x+5\Rightarrow P(-2)=13$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanhnguyen10: 01-07-2015 - 15:30

[ngocanhnguyen10]

11) Đáp án ở đây http://dethi.violet....ntry_id/9361218

[ngocanhnguyen10]

21) Hpt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy^{2}-2y=-3x^{2} (1)& & \\ x^{2}y+2x=-y^{2} (2)& & \end{matrix}\right.$

Dễ thấy hpt có nghiệm (x;y)=(0;0)

Ta có $(1);(2)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-\frac{2}{y}=-3\frac{x^{2}}{y^{2}} (3)& & \\ y+\frac{2}{x}=-\frac{y^{2}}{x^{2}} (4)& & \end{matrix}\right.$

Nhân 2 p/t (3);(4) với nhau ta đc hệ mới $\left\{\begin{matrix} x-\frac{2}{y}=-3\frac{x^{2}}{y^{2}} & & \\ (x-\frac{2}{y})(y+\frac{2}{x})=3 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy^{2}-2y=-3x^{2} (1)& & \\ xy=\frac{4}{xy}+3 (5)& & \end{matrix}\right.$

Ta có (5) $\Leftrightarrow (xy)^{2}-3xy-4=0 \Rightarrow xy=\left\{\begin{matrix} -1 & & \\ 4 & & \end{matrix}\right.$

Thay $xy=-1$ hay $y=-\frac{1}{x}$ vào (1) ta được: 

 $\frac{1}{x}+\frac{2}{x}=-3x^{2}\Rightarrow x^{3}=-1\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow y=1$

Tương tự thay xy = 4 ta được $x=-\frac{2}{\sqrt[3]{3}};y=-2\sqrt[3]{3}$

Vậy hpt có 3 cặp nghiệm 

[ngocanhnguyen10]

26) Lời giải ở đây http://diendantoanho...ìm-số-nguyên-x/

[ngocanhnguyen10]

22.

 $\left\{\begin{matrix} xy-3zt=1(1) & & \\ xz+yt=2 (2) & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}y^{2}-6xyzt+9z^{2}t^{2}=1(3) & & \\ x^{2}z^{2}+2xyzt+y^{2}t^{2}=4(4)) & & \end{matrix}\right.$

Nhân (4) với (3) và cộng từng vế với (3) ta có:

                                                 $x^{2}y^{2}+9z^{2}t^{2}+3x^{2}z^{2}+3y^{2}t^{2}=13$

Vì x, y, z, t là các số nguyên mà tổng các hệ số của vế trái là 16 nên trong x, y, z, t phải có một số bằng 0

Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì từ (1) ta có - 3zt  = 1        (vô lí)

Nếu z = 0 thì hệ có dạng $\left\{\begin{matrix} xy=1 & & \\ yt=2 & & \end{matrix}\right.$

      Hệ này có 2 nghiệm nguyên là x = y = 1; t = 2 và x = y = -1; t = -2

Tương tự nếu t = 0 thì hệ có 2 nghiệm nguyên là x = y = 1; z = 2 và x = y = -1; z = -2

Vậy các nghiệm nguyên thỏa mãn hpt gồm

              x = y = 1; z = 0; t = 2

              x = y = 1; t = 0 ; z = 2

              x = y =-1; z = 0; t = -2

              x = y =-1 ; t = 0; z = -2

[ngocanhnguyen10]

C23 Áp dụng BĐT BCS ta có$\left ( \sqrt{4x-x^{3}}+\sqrt{x+x^{3}} \right )^{2}=\left ( \sqrt{x}.\sqrt{4-x^{2}}+\sqrt{x}.\sqrt{1+x^{2}} \right )^{2}\leq \left ( x+x \right )\left ( 4-x^{2} +1+x^{2}\right )\leq 4.5=20 => Max=\sqrt{20}

Đẳng thức xảy ra <=> 0\leq x\leq 2$

cái này bị lỗi r, không xem đc

[ngocanhnguyen10]

Không bác nào có lời giải của các bài còn lại ạ? Căng quá nhề!