Bài toán (ĐHSP HCM-2013) Cho $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ là các vector khác không trong không gian vector V và $\varphi :V\rightarrow V$ là một ánh xạ tuyến tính thỏa $\varphi x_{1}=x_{2},\varphi x_{k}=x_{k}-x_{k-1},k=2,3...n$.
Trong những trường hợp nào hệ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ độc lập tuyến tính.
Lời giải. Ta sẽ chứng minh rằng hệ $\left \{ x_{1},x_{2},...,x_{n} \right \}$ độc lập tuyến tính khi n=1,2 hoặc $x_{1}-x_{2}+x_{3}\neq 0$ ( n$\geq 3$ )
Với trường hợp n=1 , khẳng đinh hiển nhiên đúng.
Với trường hợp n=2 . Giỉa sử $\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}=0\Rightarrow \lambda _{1}x_{2}+\lambda _{2}(x_{2}-x_{1})=0$.
Lưu ý đến giả thiết $\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}=0$ và $x_{1},x_{2}$ là các vector khác không ta suy ra kết luận trong khẳng định.
Với trường hợp n=3. Tiếp tục giả sử $\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}=0\Rightarrow \lambda _{1}x_{2}+\lambda _{2}(x_{2}-x_{1})+\lambda _{3}(x_{3}-x_{2})=0$
$\Rightarrow (-\lambda _{1}-\lambda _{2})x_{1}+(\lambda _{1}-\lambda _{3})x_{2}=0\Rightarrow \lambda _{1}=-\lambda _{2}=\lambda _{3}$
Khi đó ta viết lại giả thiết ban đầu như sau:
$\lambda _{1}x_{1}-\lambda _{1}x_{2}+\lambda _{1}x_{3}=0$.
Nếu $\lambda _{1}\neq 0\Rightarrow x_{1}-x_{2}+x_{3}=0$ ( trái giả thiết trong khẳng định )
nên $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=0$
Bằng một phép quy nạp đơn giản ta chứng minh được rằng :
Nếu $x_{1}-x_{2}+x_{3}\neq 0$ thì hệ $\left \{ x_{1},x_{2},...,x_{n} \right \} (n\geq 3)$ độc lập tuyến tính. ( Lập luận tương tự các phần trên nên không ghi ra ở đây ).
Ta cho một ví dụ để thấy rằng tồn tại $\varphi ,x_{1},x_{2},x_{3 }$ thỏa mãn điều kiện $x_{1}-x_{2}+x_{3}= 0$ và $\varphi x_{1}=x_{2};\varphi x_{2}=x_{2}-x_{1};\varphi x_{3}=x_{3}-x_{2}$.
Chọn $A=\begin{bmatrix} \varepsilon &0 & 0\\ 0 &\varepsilon & 0\\ 0 & 0 & \varepsilon \end{bmatrix}$ trong đó $\varepsilon ^{2}-\varepsilon +1=0$ . Chọn $x_{1}=\begin{bmatrix} 1\\1 \\1 \end{bmatrix};x_{2}=\begin{bmatrix} \varepsilon \\\varepsilon \\\varepsilon \end{bmatrix};x_{3}=\begin{bmatrix} \varepsilon ^{2}\\\varepsilon ^{2} \\\varepsilon ^{2} \end{bmatrix}$.
Khi đó bằng cách tính toán trực tiêp ta được điều phải tìm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sinh vien: 29-05-2015 - 10:30
