Chủ đề này có 3 trả lời

[naruto01]

cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=6$  và $ab+bc+ca=-3$ . Tìm max $P= a^{6}+b^{6}+c^{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 29-05-2015 - 13:04

[tonarinototoro]

từ gt suy ra $\left ( a+b+c \right )^{2}=0\Leftrightarrow a+b+c=0$

$P=\left ( \sum a^{2} \right )\left ( \sum a^{4}-\sum a^{2}b^{2} \right )+3a^{2}b^{2}c^{2}=6\left ( 6^{2}-3\sum a^{2}b^{2} \right )+3a^{2}b^{2}c^{2}=6^{3}+3a^{2}b^{2}c^{2}-18\sum a^{2}b^{2}.\sum a^{2}-36abc\sum a$ (vì$ \sum a=0)$$=3a^{2}b^{2}c^{2}+216-18\left ( \sum a \right )^{2}=3a^{2}b^{2}c^{2}+54$

$\Rightarrow P_{max}\Leftrightarrow a^{2}b^{2}c^{2}_{max}$

không mất tính tổng quát gs $ab\geq 0$ có  $ab\leq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4}=\frac{c^{2}}{4}\Rightarrow a^{2}b^{2}\leq \frac{c^{4}}{16}$$\Rightarrow a^{2}b^{2}c^{2}\leq \frac{c^{6}}{16}$

từ $a+b+c=0\Rightarrow a=-\left ( b+c \right )\Rightarrow ab+bc+ca=-3\Leftrightarrow a\left ( b+c \right )+bc=-3\Leftrightarrow \left (b+c \right )^{2}-bc-3=0\Leftrightarrow b^{2}+bc+c^{2}-3=0 (*)$

coi (*) là pt bậc 2 ẩn b $\rightarrow$ tính $\Delta \rightarrow$ ĐK để pt có nghiệm là $-2\leq c\leq 2$

$\Rightarrow c^{6}\leq 2^{6}=64\Rightarrow P\leq 66$

dấu "=" khi $(a;b;c)=(-1;-1;2)$ hoặc $(1;1;-2)$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tonarinototoro: 29-05-2015 - 18:40

[ZzNightWalkerZz]

từ gt suy ra $\left ( a+b+c \right )^{2}=0\Leftrightarrow a+b+c=0$

$P=\left ( \sum a^{2} \right )\left ( \sum a^{4}-\sum a^{2}b^{2} \right )+3a^{2}b^{2}c^{2}=6\left ( 6^{2}-3\sum a^{2}b^{2} \right )+3a^{2}b^{2}c^{2}=6^{3}+3a^{2}b^{2}c^{2}-18\sum a^{2}b^{2}.\sum a^{2}-36abc\sum a$ (vì$ \sum a=0)$$=3a^{2}b^{2}c^{2}+216-18\left ( \sum a \right )^{2}=3a^{2}b^{2}c^{2}+54$

$\Rightarrow P_{max}\Leftrightarrow a^{2}b^{2}c^{2}_{max}$

không mất tính tổng quát gs $ab\geq 0$ có  $ab\leq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4}=\frac{c^{2}}{4}\Rightarrow a^{2}b^{2}\leq \frac{c^{4}}{16}$$\Rightarrow a^{2}b^{2}c^{2}\leq \frac{c^{6}}{16}$

từ $a+b+c=0\Rightarrow a=-\left ( b+c \right )\Rightarrow ab+bc+ca=-3\Leftrightarrow a\left ( b+c \right )+bc=-3\Leftrightarrow \left (b+c \right )^{2}-bc-3=0\Leftrightarrow b^{2}-bc+c^{2}-3=0 (*)$

coi (*) là pt bậc 2 ẩn b $\rightarrow$ tính $\Delta \rightarrow$ ĐK để pt có nghiệm là $-2\leq c\leq 2$

$\Rightarrow c^{6}\leq 2^{6}=64\Rightarrow P\leq 66$

dấu "=" khi $(a;b;c)=(-1;-1;2)$ hoặc $(1;1;-2)$ và các hoán vị

Ừm, cách bạn giống cách mình (mỗi tội mình chưa kịp đăng).
Từ khi quy về $a^2b^2c^2$ max thì có thể làm cách sau ngắn hơn một chút

Không mất tính tổng quát, giả sử $bc\geq0$
$6|bc|\leq(b+c)^2+b^2+c^2=a^2+b^2+c^2=6=>b^2c^2\leq1$
$3a^2\leq2(b^2+c^2)+2a^2=12<=>a^2\leq4$

Thanks bạn tonarinototoro đã nhắc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 29-05-2015 - 19:34

[tonarinototoro]

Ừm, cách bạn giống cách mình (mỗi tội mình chưa kịp đăng).
Từ khi quy về $a^2b^2c^2$ max thì có thể làm cách sau ngắn hơn một chút
$6|bc|\leq(b+c)^2+b^2+c^2=a^2+b^2+c^2=6=>b^2c^2\leq1$
$3a^2\leq2(b^2+c^2)+2a^2=12<=>a^2\leq4$

chỗ màu đỏ chưa chuẩn nhé vì $2\left | bc \right |$ chưa chắc $\leq \left ( b+c \right )^{2}$ (thử với $b=-1,c=2$). đoạn này phải gs $bc\geq0$

nhưng mà làm như bạn ngắn hơn của mình thật