Chủ đề này có 6 trả lời

[longatk08]

Cho $a,b,c$ là các số không âm sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng không.Chứng minh rằng:

 

$\frac{a(2a+b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(2b+a+c)}{c^2+a^2}+\frac{c(2c+a+b)}{a^2+b^2}\geq 6$

Spoiler

Mấy hôm nữa đá C1 nhỉ ?

[Hoang Tung 126]

Cho $a,b,c$ là các số không âm sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng không.Chứng minh rằng:

 

$\frac{a(2a+b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(2b+a+c)}{c^2+a^2}+\frac{c(2c+a+b)}{a^2+b^2}\geq 6$

Spoiler

Mấy hôm nữa đá C1 nhỉ ?

    Không mất tổng quát giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$

 

BDT $< = > \sum (\frac{a(2a+b+c)}{b^2+c^2}-2)\geq 0< = > \sum \frac{2a^2+ab+ac-2b^2-2c^2}{b^2+c^2}\geq 0< = > \sum \frac{(a^2-b^2)+(a^2-c^2)+(ab-b^2)+(ac-c^2)}{b^2+c^2}\geq 0< = > \sum \frac{(a-b)(a+2b)+(a-c)(a+2c)}{b^2+c^2}\geq 0< = > \sum \frac{(a-b)(a+2b)}{b^2+c^2}+\sum \frac{(b-a)(2a+b)}{a^2+c^2}\geq 0< = > \sum (a-b)(\frac{a+2b}{b^2+c^2}-\frac{2a+b}{a^2+c^2})\geq 0< = > \sum (a-b)(\frac{(a+2b)(a^2+c^2)-(b^2+c^2)(2a+b)}{(b^2+c^2)(a^2+c^2)})\geq 0< = > \sum (a-b)(\frac{(a-b)(a^2+3ab+b^2-c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)})\geq 0< = > \sum (a-b)^2(\frac{a^2+3ab+b^2-c^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)})\geq 0$

 

   Đặt $S_{a}=\frac{b^2+3bc+c^2-a^2}{(b^2+a^2)(a^2+c^2)}$

         $S_{b}=\frac{a^2+3ac+c^2-b^2}{(b^2+a^2)(b^2+c^2)}$

         $S_{c}=\frac{a^2+3ab+b^2-c^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}$

 

Ta có : $S_{b}=\frac{a^2+3ac+c^2-b^2}{(a^2+b^2)(c^2+b^2)}=\frac{(a^2-b^2)+(3ac+c^2)}{(a^2+b^2)(c^2+b^2)}\geq 0$   (Do $a\geq b\geq 0$)

 

  $S_{c}=\frac{a^2+3ab+b^2-c^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}=\frac{(a^2+3ab)+(b^2-c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}\geq 0$  (Do $b\geq c\geq 0$)

 

  $= > S_{b}+S_{c}\geq 0$

 

 Do $b\leq a,a^2+3ac+c^2-b^2\geq 0= > \frac{a^2+3ac+c^2-b^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geq \frac{a^2+3ac+c^2-b^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}$

 

  Từ đó  $S_{b}+S_{a}=\frac{b^2+3bc+c^2-a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{a^2+3ac+c^2-b^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geq \frac{b^2+3bc+c^2-a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{a^2+3ac+c^2-b^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}=\frac{b^2+3bc+c^2-a^2+a^2+3ac+c^2-b^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}=\frac{2c^2+3ac+3bc}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\geq 0$ 

     $= > S_{b}+S_{a}\geq 0$

 

 Từ đó $a\geq b\geq c\geq 0, S_{b}\geq 0,S_{b}+S_{c}\geq 0,S_{b}+S_{a}\geq 0$ nên theo nguyên lý SOS ta có ĐPCM

 

    Dấu = xảy ra khi $a=b=c> 0,c=0,a=b$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 02-06-2015 - 07:21

[Hoang Tung 126]

Cho $a,b,c$ là các số không âm sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng không.Chứng minh rằng:

 

$\frac{a(2a+b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(2b+a+c)}{c^2+a^2}+\frac{c(2c+a+b)}{a^2+b^2}\geq 6$

Spoiler

Mấy hôm nữa đá C1 nhỉ ?

Còn C1 thì 4 hôm nữa nhé ,6/6

[longatk08]

    

 

 

    Dấu = xảy ra khi $a=b=c> 0,c=0,a=b$

Mình thì không thích $S.O.S$ lắm và bài này có thể giải bằng C-S kết hợp $p,q,r$ 

[dang123]

    Không mất tổng quát giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$

 

BDT $< = > \sum (\frac{a(2a+b+c)}{b^2+c^2}-2)\geq 0< = > \sum \frac{2a^2+ab+ac-2b^2-2c^2}{b^2+c^2}\geq 0< = > \sum \frac{(a^2-b^2)+(a^2-c^2)+(ab-b^2)+(ac-c^2)}{b^2+c^2}\geq 0< = > \sum \frac{(a-b)(a+2b)+(a-c)(a+2c)}{b^2+c^2}\geq 0< = > \sum \frac{(a-b)(a+2b)}{b^2+c^2}+\sum \frac{(b-a)(2a+b)}{a^2+c^2}\geq 0< = > \sum (a-b)(\frac{a+2b}{b^2+c^2}-\frac{2a+b}{a^2+c^2})\geq 0< = > \sum (a-b)(\frac{(a+2b)(a^2+c^2)-(b^2+c^2)(2a+b)}{(b^2+c^2)(a^2+c^2)})\geq 0< = > \sum (a-b)(\frac{(a-b)(a^2+3ab+b^2-c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)})\geq 0< = > \sum (a-b)^2(\frac{a^2+3ab+b^2-c^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)})\geq 0$

 

   Đặt $S_{a}=\frac{b^2+3bc+c^2-a^2}{(b^2+a^2)(a^2+c^2)}$

         $S_{b}=\frac{a^2+3ac+c^2-b^2}{(b^2+a^2)(b^2+c^2)}$

         $S_{c}=\frac{a^2+3ab+b^2-c^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}$

 

Ta có : $S_{b}=\frac{a^2+3ac+c^2-b^2}{(a^2+b^2)(c^2+b^2)}=\frac{(a^2-b^2)+(3ac+c^2)}{(a^2+b^2)(c^2+b^2)}\geq 0$   (Do $a\geq b\geq 0$)

 

  $S_{c}=\frac{a^2+3ab+b^2-c^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}=\frac{(a^2+3ab)+(b^2-c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}\geq 0$  (Do $b\geq c\geq 0$)

 

  $= > S_{b}+S_{c}\geq 0$

 

 Do $b\leq a,a^2+3ac+c^2-b^2\geq 0= > \frac{a^2+3ac+c^2-b^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geq \frac{a^2+3ac+c^2-b^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}$

 

  Từ đó  $S_{b}+S_{a}=\frac{b^2+3bc+c^2-a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{a^2+3ac+c^2-b^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geq \frac{b^2+3bc+c^2-a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{a^2+3ac+c^2-b^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}=\frac{b^2+3bc+c^2-a^2+a^2+3ac+c^2-b^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}=\frac{2c^2+3ac+3bc}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\geq 0$ 

     $= > S_{b}+S_{a}\geq 0$

 

 Từ đó $a\geq b\geq c\geq 0, S_{b}\geq 0,S_{b}+S_{c}\geq 0,S_{b}+S_{a}\geq 0$ nên theo nguyên lý SOS ta có ĐPCM

 

    Dấu = xảy ra khi $a=b=c> 0,c=0,a=b$

bạn có thể giải thích Nguyên  lí SOS ko mình tìm trên google ko thấy

[Hoang Tung 126]

bạn có thể giải thích Nguyên  lí SOS ko mình tìm trên google ko thấy

Đó là đưa về BDT dạng $S_{a}(b-c)^2+S_{b}(a-c)^2+S_{c}(a-b)^2\geq 0$

 

Giả sử $a\geq b\geq c$ thì BDT trên đúng khi các điều kiện sau thỏa mãn:

 

 $1: S_{a}\geq 0,S_{b}\geq 0,S_{c}\geq 0$

$2: S_{b}\geq 0,S_{b}+S_{c}\geq 0,S_{b}+S_{a}\geq 0$

$3:S_{a}\geq 0,S_{c}\geq 0,S_{a}+2S_{b}\geq 0,S_{c}+2S_{b}\geq 0$

$4:S_{a}\geq 0,S_{c}\geq 0,a^2S_{b}+b^2S_{a}\geq 0$

$5:S_{a}+S_{b}+S_{c}\geq 0,S_{a}S_{b}+S_{b}S_{c}+S_{c}S_{a}\geq 0$

[Hoang Tung 126]

Mình thì không thích $S.O.S$ lắm và bài này có thể giải bằng C-S kết hợp $p,q,r$ 

Nhưng theo mình các SOS là ngắn gọn nhất rùi ,cách kia phải phá tung ra phức tạp