Chủ đề này có 10 trả lời

[microwavest]

Cho $x,y,z$ > $0$ thỏa $x+y+z=xyz$.

Chứng minh: $\sum\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi microwavest: 04-06-2015 - 22:13

[HoangVienDuy]

ta có $x+y+z=xyz\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

$P=\sum \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=\sum \frac{1}{\sqrt{\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{z} \right )}}\leq \sum \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}}\leq \frac{3}{2}.(\sum \frac{1}{\sqrt{xy}})\leq \frac{3}{2}.\sqrt{3.1}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 04-06-2015 - 22:38

[Quoc Tuan Qbdh]

Ta có : $\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{zy}=1$

$P = \sum \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=\sum \frac{1}{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})}Theo C-S \leq \sum \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}}\leq \frac{3}{2}(\sum \frac{1}{\sqrt{xy}})\leq \frac{3}{2}.\sqrt{3.1}=3\sqrt{3} chia 2$

[NoHechi]

ta có $x+y+z=xyz\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

$P=\sum \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=\sum \frac{1}{\sqrt{\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{z} \right )}}\leq \sum \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}}\leq \frac{3}{2}.(\sum \frac{1}{\sqrt{xy}})\leq \frac{3}{2}.\sqrt{3.1}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có : $\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{zy}=1$

$P = \sum \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=\sum \frac{1}{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})}Theo C-S \leq \sum \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}}\leq \frac{3}{2}(\sum \frac{1}{\sqrt{xy}})\leq \frac{3}{2}.\sqrt{3.1}=3\sqrt{3} chia2$

 

Giống hệt mà ,sao chép lại làm j vậy ?

[Hoang Nhat Tuan]

ta có $x+y+z=xyz\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

$P=\sum \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=\sum \frac{1}{\sqrt{\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{z} \right )}}\leq \sum \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}}\leq \frac{3}{2}.(\sum \frac{1}{\sqrt{xy}})\leq \frac{3}{2}.\sqrt{3.1}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Theo mình nghĩ thì cách làm này sai rồi, sao có thể suy ra được dấu $\leq$ ở đoạn cuối được  , thử thay với x=1; y=2; z=3 thì BĐT sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 04-06-2015 - 23:15

[HoangVienDuy]

mình bị nhầm ở bước gần cuối. đang tìm cách sửa lại :(chỉ sai ở chổ  $P=\sum \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=\sum \frac{1}{\sqrt{\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{z} \right )}}\leq \sum \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}}\leq \frac{3}{2}.(\sum \frac{1}{\sqrt{xy}})\leq \frac{3}{2}.\sqrt{3.1}=\frac{3\sqrt{3}}{2} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 04-06-2015 - 23:22

[chungtoiladantoan99]

bài toán đưa về chứng minh: $\sum \frac{x}{1+x\sqrt{3}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$....

[Quoc Tuan Qbdh]

mình bị nhầm ở bước gần cuối. đang tìm cách sửa lại :(chỉ sai ở chổ  $P=\sum \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=\sum \frac{1}{\sqrt{\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{z} \right )}}\leq \sum \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}}\leq \frac{3}{2}.(\sum \frac{1}{\sqrt{xy}})\leq \frac{3}{2}.\sqrt{3.1}=\frac{3\sqrt{3}}{2} $

Sửa lại chỗ này là $\leq \frac{1}{2}(\sum \frac{1}{^{\sqrt{xy}}})\leq \frac{căn 3}{2}$     huhu thế là sao

[chungtoiladantoan99]

Cho $x,y,z$ > $0$ thỏa $x+y+z=xyz$.

Chứng minh: $\sum\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

theo BĐT Cauchy-Swcharz, ta có:

 $4(1+x^2)=(1+3)(1+x^2)\geq (1+x\sqrt{3})^2\Rightarrow 1+x^2\geq \frac{(1+x\sqrt{3})^2}{4}$

$\Rightarrow \sqrt{1+x^2}\geq \frac{1+x\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leq \frac{2x}{1+x\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leq 2\sum \frac{x}{1+x\sqrt{3}}$ Do đó ta cần chứng minh: $\sum \frac{x}{1+x\sqrt{3}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Do VT của BĐT là thuần nhất nên chuẩn hóa $x+y+z=3\sqrt{3}$

Nhận xét: $\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{x}{1+x\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}(1+x\sqrt{3})}$ BĐT cần chứng minh có thể  viết lại thành:

$\sum \frac{1}{\sqrt{3}(1+x\sqrt{3})}\geq \frac{\sqrt{3}}{4}$ . BĐT này đúng bởi theo BĐT cauchy-Swcharz ta có:

$\sum \frac{1}{\sqrt{3}(1+x\sqrt{3})}\geq \frac{9}{\sqrt{3}[\sqrt{3}(x+y+z)+3]}=\frac{9}{\sqrt{3}(3\sqrt{3}.\sqrt{3}+3)}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y+z=xyz & \\ x+y+z=3\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$ cùng với đk xảy ra dấu bằng của BĐT Cauchy-Swcharz, ta được

$x=y=z=\sqrt{3}$. Suy ra đpcm.

[dang123]

theo BĐT Cauchy-Swcharz, ta có:

 $4(1+x^2)=(1+3)(1+x^2)\geq (1+x\sqrt{3})^2\Rightarrow 1+x^2\geq \frac{(1+x\sqrt{3})^2}{4}$

$\Rightarrow \sqrt{1+x^2}\geq \frac{1+x\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leq \frac{2x}{1+x\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leq 2\sum \frac{x}{1+x\sqrt{3}}$ Do đó ta cần chứng minh: $\sum \frac{x}{1+x\sqrt{3}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Do VT của BĐT là thuần nhất nên chuẩn hóa $x+y+z=3\sqrt{3}$

Nhận xét: $\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{x}{1+x\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}(1+x\sqrt{3})}$ BĐT cần chứng minh có thể  viết lại thành:

$\sum \frac{1}{\sqrt{3}(1+x\sqrt{3})}\geq \frac{\sqrt{3}}{4}$ . BĐT này đúng bởi theo BĐT cauchy-Swcharz ta có:

$\sum \frac{1}{\sqrt{3}(1+x\sqrt{3})}\geq \frac{9}{\sqrt{3}[\sqrt{3}(x+y+z)+3]}=\frac{9}{\sqrt{3}(3\sqrt{3}.\sqrt{3}+3)}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y+z=xyz & \\ x+y+z=3\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$ cùng với đk xảy ra dấu bằng của BĐT Cauchy-Swcharz, ta được

$x=y=z=\sqrt{3}$. Suy ra đpcm.

BDT đâu có đồng bac mà chuẩn hóa

[dang123]

co the lam theo tan

$\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$

ĐẶt $\frac{1}{x}= tan\frac{A}{2}$ ...tương tự

=> A+B+C=pi
P=$cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2}$.........

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dang123: 05-06-2015 - 07:57