Chủ đề này có 3 trả lời

[NoHechi]

BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC ĐỀ THI CHỌN HSG MÔN TOÁN
CỦA CÁC TRƯỜNG, CÁC TỈNH TRÊN CẢ NƯỚC
NĂM HỌC 2014 - 2015

1. Đề bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NoHechi: 06-06-2015 - 19:47

[Phuong Thu Quoc]

Bài 1: Từ giả thiết $\Rightarrow 7\sum x^{2}-12=3\sum x^{4}\geq \left ( \sum x^{2} \right )^{2}\Rightarrow \sum x^{2}\in \left [ 3;4 \right ]$

Theo AM-GM có $\frac{x^{2}}{y+2z}+\frac{x^{2}\left ( y+2z \right )}{9}\geq \frac{2x^{2}}{3}$

Lập các BĐT tương tự được $P\geq \frac{2\sum x^{2}}{3}-\frac{1}{9}\left ( \sum x^{2}\left ( y+2z \right ) \right )$

Lại theo AM-GM thì $x^{2}z\leq \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{z^{3}}{3}\Rightarrow \sum x^{2}z\leq \sum x^{3}$

Thay vào được $P\geq \frac{2\sum x^{2}}{3}-\frac{1}{9}\left ( \sum x \right )\left ( \sum x^{2} \right )\geq \frac{2\sum x^{2}}{3}-\frac{1}{9}(\sum x^{2})\sqrt{3\sum x^{2}}$

Xét $f\left ( t \right )=\frac{2t}{3}-\frac{t\sqrt{t}}{3\sqrt{3}}; t\in \left [ 3;4 \right ]$ để tìm GTNN.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 05-06-2015 - 09:44

[NoHechi]

Bài 1

Cách 2 :  Sử dụng Cauchy-Schwwars ta có

              $3(x^{4}+y^{4}+z^{4})\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\rightarrow 0\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} -7(x^{2}+y^{2}+z^{2})+12$

 $(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 3$

Áp dụng tiếp AM-GM ta có

             $P\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x+2(x^{2}z+y^{2}x+z^{2}y)}$

Áp dụng AM-GM và BĐT quen thuộc :$ab+bc+ac\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$

           $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq (x^{2}+y^{2}+z^{2}).\sqrt{\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{3}}$

Tương tự $2(x^{2}z+y^{2}x+z^{2}y)\geq 2(x^{2}+y^{2}+z^{2}).\sqrt{\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{3}}$

     Kết hợp lại ta được Min P =1 khi và chỉ khi x=y=z=1

 

P/s : Các anh chị giải càng nhiều cách càng tốt ạ

    Giải hết em sẽ đăng thêm ,ai đăng nhớ đáng bài hộ ạ

                MONG MỌI NGƯỜI ỦNG HỘ     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NoHechi: 05-06-2015 - 22:13

[NoHechi]

BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC ĐỀ THI CHỌN HSG MÔN TOÁN
CỦA CÁC TRƯỜNG, CÁC TỈNH TRÊN CẢ NƯỚC
NĂM HỌC 2014 - 2015

1. Đề bài

 

Bài 2

  Áp dụng BĐT AM-Gm cho 20 số thực

                 $\sum (\frac{a_{1}^{20}}{a_{2}^{11}}+11a_{2}+8)\geq\sum (20\sqrt[20]{\frac{a_{1}^{20}}{a_{2}^{11}}.a_{2}^{11}.1^{8}})=\sum 20a_{1}$

=>$\frac{a_{1}^{20}}{a_{2}^{11}}+\frac{a_{2}^{20}}{a_{3}^{11}}+...+\frac{a_{2014}^{20}}{a_{1}^{11}}\geq 20(a_{1}+a_{2}+...+a_{2014})-11(a_{1}+a_{2}+...+a_{2014})-2014.8=2014$ (Do $\sum_{i=1}^{2014}a_{i}=2014$)