Chủ đề này có 4 trả lời

[bvptdhv]

Cho $x,y,z$ đôi một khác nhau thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

Tính $A=\frac{yz}{x^{2}+2yz}+\frac{zx}{y^{2}+2zx}+\frac{xy}{z^{2}+2xy}$

[bvptdhv]

Cho $x,y,z$ đôi một khác nhau thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

Tính $A=\frac{yz}{x^{2}+2yz}+\frac{zx}{y^{2}+2zx}+\frac{xy}{z^{2}+2xy}$

[toanhocvidai]

tu dk suy ra xy+yz+xz=0 ta co

x² +2yz=x² +yz-xy-xz=(x-y)(x-z)

tuong tu y²+2xz=(z-y)(x-y); z²+2xy=(y-z)(x-z)

quy dong mau la (x-y)(x-z)(y-z)

tu la yz(y-z)-xz(x-z)+xy(x-y)=yz(y-z)-xz(x-y+y-z)+xy(x-y)=z(y-z)(y-x)+x(x-y)(y-z)=(x-y)(x-z)(y-z)

suy ra A=1

[MathSpace001]

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 => xy + yz + zx = 0 => xy = -yz-xz

                                                                                            yz = -xy-xz

                                                                                            xz = -xy-yz$

Khi đó

A = $\frac{yz}{x^{2}+2yz}+ \frac{zx}{y^{2}+2zx}+\frac{xy}{z^{2}+2xy}

   = \frac{yz}{x^{2}+yz+yz}+ \frac{zx}{y^{2}+zx+zx}+\frac{xy}{x^{2}+xy+xy}$

   = $\frac{yz}{x^{2}+yz-xy-xz}+\frac{zx}{y^{2}+zx-xy-yz}+ \frac{xy}{z^{2}+xy-zx-yz}

   = \frac{yz}{\left ( x-y \right )\left ( x-z \right )}-\frac{zx}{\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )}+\frac{xy}{\left ( y-z \right )\left ( x-z \right )}$

   = $\frac{yz(y-z)-xz(x-z)+xy(x-y)}{\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( x-z \right )}

   =\frac{yz(y-z)-x^{2}z+xz^{2}+x^{2}y-xy^{2}}{\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( x-z \right )}$

   =$\frac{xy\left ( x-y \right )+x^{2}(y-z)-x\left ( y+z \right )\left ( y-z \right )}{\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( x-z \right )}$

   = $\frac{\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( x-z \right )}{\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( x-z \right )}=1$

 Mình làm hơi tắt 1 chút nhưng cũng không khó hiểu đâu

[tank06536]

$xy+yz+zx=0\Rightarrow x^{2}+2yz=-xy+yz-zx+x^{2}=(x-y)(x-z)$

tương tự $y^{2}+2zx=(y-z)(y-x)$

$z^{2}+2xy=(z-y)(z-x)$

$\Rightarrow A=\frac{yz}{(x-y)(x-z)}+\frac{zx}{(y-z)(y-x)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)}$

quy đồng ta được $A=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tank06536: 06-06-2015 - 09:46