Chủ đề này có 3 trả lời

[vnhero]

Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D thuộc AC, $\widehat{ABD}=\frac{1}{3}\widehat{ABC}$. Trên tia đối của DB lấy E, DE=BC.

Chứng minh tam giác DEC cân tại E.

[Phung Quang Minh]

Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D thuộc AC, $\widehat{ABD}=\frac{1}{3}\widehat{ABC}$. Trên tia đối của DB lấy E, DE=BC.

Chứng minh tam giác DEC cân tại E.

-Kẻ \[CH \bot BD(H \in BD)\]; lấy E' đối xứng với B qua H.

-Ta có: BC=CE' (1) =>\[\widehat {BE'C} = \widehat {E'BC} = 2.\widehat {ABD}\].

-Lại có: \[\widehat {E'DC} = {90^ \circ } - \widehat {ABD}\]

=> \[\widehat {E'CD} = {90^ \circ } - \widehat {ABD} = \widehat {E'DC} =  > E'D = E'C(2).\]

-Từ (1);(2) => BC=DE' =DE   => \[E \equiv E'\] => tam giác DEC cân tại E.

[loigiailanhlung]

Đặt$ \widehat{ABC}=3\alpha,\widehat{BEC}=\beta$
$$\Rightarrow BD=\frac{c}{\cos{\alpha}},BC=\frac{c}{\cos{3\alpha}},BE=\frac{c}{\cos{\alpha}}+\frac{c}{\cos{3\alpha}}$$
Áp dụng định lý hàm số sin,ta có:
$$\frac{BE}{BC}=\frac{\sin{2\alpha+\beta}}{\sin{\beta}}$$
$$\Leftrightarrow \frac{\cos{3\alpha}}{\cos{\alpha}}-1=\sin{2\alpha}.\cot{\beta}+\cos{2\alpha}$$
$$\Leftrightarrow 4\cos^2{\alpha}-2=\sin{2\alpha}.\cot{\beta}+\cos{2\alpha}$$
$$\Leftrightarrow \cos{2\alpha}=\sin{2\alpha}.\cot{\beta}$$
$$\Rightarrow \beta=2\alpha (đpcm)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loigiailanhlung: 07-06-2015 - 17:48

[Thu Huyen 21]

Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D thuộc AC, $\widehat{ABD}=\frac{1}{3}\widehat{ABC}$. Trên tia đối của DB lấy E, DE=BC.

Chứng minh tam giác DEC cân tại E.

Lấy M trên cạnh DE sao cho BM=DE=BC, kẻ phân giác góc EBC cắt CM tại H

Tam giác BMC cân tại B có BH là phân giác => BH cũng là đường cao

Ta có: 

$\widehat{CME}=\widehat{MBH}+\widehat{BHM}=90^{\circ}+ \widehat{MBH}$

$\widehat{BDC}=\widehat{BAD}+\widehat{ABD}=90^{\circ}+ \widehat{ABD}$

Mà $\widehat{ABD}$= $\widehat{MBH}$

$\Rightarrow \widehat{BDC}=\widehat{CME}$ $\Rightarrow CD=CM$

Xét $\Delta BDC$ và $\Delta EMC$ có:

$ CD=CM$

$ \widehat{BDC}=\widehat{CME}$

$ BD=EM$

$\Rightarrow$ $\Delta BDC = \Delta EMC (c.g.c)$ $\Rightarrow CE=BC=DE$

=> Tam giác DEC cân tại E

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thu Huyen 21: 07-06-2015 - 18:39