$\begin{array}{ccc}\text{SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO}& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &\text{KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT} \\ \underline{\text{HÀ NỘI}} & & \underline{\text{Năm học 2015 - 2016}}\\ & &\text{Môn thi: Toán}\\ \boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}&&\text{Ngày thi: }\textit{11 tháng 6 năm 2015}\\ &&\text{Thời gian làm bài: }\textit{120 phút}\\ && \end{array}$
Bài I (2,0 điểm). Cho hai biểu thức: $P=\frac{x+3}{\sqrt x -2}$ và $Q=\frac{\sqrt x -1}{\sqrt x +2} + \frac{5\sqrt x -2}{x-4} $ với $\;x>0, x\ne 4$.
$\qquad 1)$ Tính giá trị của biểu thức $P$ khi $x=9$.
$\qquad 2)$ Rút gọn biểu thức $Q$.
$\qquad 3)$ Tìm giá trị của $x$ để biểu thức $\frac{P}{Q}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
$\qquad$ Một tàu tuần tra chạy ngược dòng $60$km, sau đó chạy xuôi dòng $48$km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là $2$km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ.
Bài III (2,0 điểm).
$\qquad 1)$ Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2(x+y)+\sqrt{x+1}=4\\ (x+y)-3\sqrt{x+1}=-5\end{cases}$
$\qquad 2)$ Cho phương trình $\quad x^2-(m-5)x+3m+6=0$ $(x$ là ẩn số $)$
$\qquad\qquad a)$ Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực $m$.
$\qquad\qquad b)$ Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $\,x_1,x_2\,$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng $5$.
Bài IV (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm $O$ có đường kính $AB$. Lấy điểm $C$ trên đoạn thẳng $AO$ $(C$ khác $A$, $C$ khác $O)$. Đường thẳng đi qua $C$ và vuông góc với $AB$ cắt nửa đường tròn tại $K$. Gọi $M$ là điểm bất kì trên cung $KB$ $(M$ khác $K$, $M$ khác $B)$. Đường thẳng $CK$ cắt các đường thẳng $AM, BM$ lần lượt tại $H$ và $D$. Đường thẳng $BH$ cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai $N$.
$\qquad 1)$ Chứng minh tứ giác $ACMD$ là tứ giác nội tiếp.
$\qquad 2)$ Chứng minh $CA.CB=CH.CD$.
$\qquad 3)$ Chứng minh ba điểm $A,N,D$ thẳng hàng và tiếp tuyến tại $N$ cắt nửa đường tròn đi qua trung điểm của $DH$.
$\qquad 4)$ Khi $M$ di động trên cung $KB$, chứng minh đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài V (0,5 điểm). Với hai số thực không âm $a, b$ thỏa mãn $a^2+b^2=4$, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M=\frac{ab}{a+b+2}$.
--------------- Hết ---------------
Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:................................... Số báo danh:...................................
Chữ kí của giám thị 1:............................ Chữ kí của giám thị 2:..........................
