Chủ đề này có 7 trả lời

[Trung Gauss]

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH

Năm học: 2015-2016

Môn: Toán (Chuyên)

Thời gian: 150 phút

 

Câu 1: Cho các số thực $a,b, c, x,y$ thỏa mãn $\begin{cases}a+b+c=0\\\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=\dfrac{x+y}{c}\end{cases}$. Chứng minh rằng: $xa^2+yb^2=(x+y)c^2$

 

Câu 2:

a.Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}x-2y=\sqrt{3y}-\sqrt{x+y}\\4x^2y^2-10x^2y+8x^2-10x+4=0\end{cases}$$

b.Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn:$\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$.Tìm $\textit{Min}$ và $\textit{Max}$ của $P=\sqrt{a+8}+\sqrt{b+8}$

Câu 3:

    a. Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ phân biệt thỏa $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$

    b. Cho các số nguyên dương $a,, c$ nguyên tố cùng nhau. Xét đa thức $P(x)=x^2-(a+b)x+ab$, biết $P( c )=c^2$. CMR: $c.P(a+b)$ là số chính phương.

 

Câu 4: Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB>AC$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. $BC, EF$ gặp nhau tại $K$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $(O), (O')$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF, BKE$.

   a. CMR: $ME$ là tiếp tuyến của $(O)$ và $(O')$.

   b. CMR: $H$ là trực tâm tam giác $AMK$.

 

Câu 5: Cho bảng hình vuông kích thước $5\times 5$. Tô màu $k$ ô vuông con của bảng sao cho trong bất kì bảng con $2\times 2$ nào cũng chỉ không quá $2$ ô vuông con được tô màu. Chứng minh giá trị lớn nhất của $k$ là $15$

 

Dinh Xuan Hung:Đề này thiếu câu 2b (Đã được bổ sung)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19-06-2015 - 11:50

[Hoang Nhat Tuan]

 

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH

Năm học: 2015-2016

Môn: Toán (Chuyên)

Thời gian: 150 phút

 

Câu 1: Cho các số thực $a,b, c, x,y$ thỏa mãn $\begin{cases}a+b+c=0\\\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=\dfrac{x+y}{c}\end{cases}$. Chứng minh rằng: $xa^2+yb^2=(x+y)c^2$

 

Câu 2: Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}x-2y=\sqrt{3y}-\sqrt{x+y}\\4x^2y^2-10x^2y+8x^2-10x+4=0\end{cases}$$

Câu 3:

    a. Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ phân biệt thỏa $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$

    b. Cho các số nguyên dương $a,, c$ nguyên tố cùng nhau. Xét đa thức $P(x)=x^2-(a+b)x+ab$, biết $P( c )=c^2$. CMR: $c.P(a+b)$ là số chính phương.

 

Câu 4: Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB>AC$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. $BC, EF$ gặp nhau tại $K$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $(O), (O')$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF, BKE$.

   a. CMR: $ME$ là tiếp tuyến của $(O)$ và $(O')$.

   b. CMR: $H$ là trực tâm tam giác $AMK$.

 

Câu 5: Cho bảng hình vuông kích thước $5\times 5$. Tô màu $k$ ô vuông con của bảng sao cho trong bất kì bảng con $2\times 2$ nào cũng chỉ không quá $2$ ô vuông con được tô màu. Chứng minh giá trị lớn nhất của $k$ là $15$

 

Sao đề này không có BĐT nhỉ   , chán quá

Câu 3a giả sử $x>y>z$ rồi dùng thử chọn là được

[Dinh Xuan Hung]

 

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH

Năm học: 2015-2016

Môn: Toán (Chuyên)

Thời gian: 150 phút

 

 

 

Câu 2: Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}x-2y=\sqrt{3y}-\sqrt{x+y}\\4x^2y^2-10x^2y+8x^2-10x+4=0\end{cases}$$

 

 

ĐK:$x\geq -y;y\geq 0$

$x-2y=\sqrt{3y}-\sqrt{x+y}\Leftrightarrow x-2y=\frac{2y-x}{\sqrt{3y}+\sqrt{x+y}}\Leftrightarrow (x-2y)\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{3y}+\sqrt{x+y}} \right )=0\Rightarrow x=2y$

Thay vào pt 2 ta được:

$16y^4-40y^3+32y^4-20y+4=0\Leftrightarrow 4y^4-10y^3+8y^2-5y+1=0$

PT đối xứng
 

[Hoang Nhat Tuan]

 

• sao lai danh de thieu bdt vay
•  2b cho a,b,c la ca so thuc duong tm
• $\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$
• tim min ,max cua 
• F=$\sqrt{a+8}+\sqrt{b+8$

 

Cậu sửa lại đề giùm mình với 

$\sqrt{a+8}+\sqrt{b+8}\geq \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{33}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 13-06-2015 - 16:30

[Copa America]

cau5

 

 

Với k = 15 ta có phương án tô như hình vẽ bên là thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

 

 

 

*

*

*

*

*

 

 

 

 

 

*

*

*

*

*

 

 

 

 

 

*

*

*

*

*

 

Ta sẽ chứng minh không thể tô được 16 ô thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giả sử ta có thể tô màu 16 ô vuông con của bảng 5x5 sao cho trong bất kỳ bảng con 2x2 nào đều có không quá 2 ô được tô màu.

Xét 4 bảng  con kích thước 2x2 ở 4 góc của bảng 5x5.

Bốn bảng con này sẽ có tối đa 4.2 = 8 ô được tô màu.

Suy ra, ở 9 ô không nằm trong 4 bảng 2x2 vừa nêu     (gồm 1 hàng và 1 cột chính giữa bảng 5x5) phải có tối thiểu 16 - 8 = 8 ô được tô màu.

 

-

*

 

 

-

-

*

 

 

*

*

+

*

*

 

 

*

 

 

 

 

*

 

 

 

Nếu ô đánh dấu (+) được tô màu thì 4 ô kề với ô chứa dấu (+) chỉ có tối đa 2 ô được tô màu, do đó số ô được tô màu (trong 9 ô đang xét) không quá 7 ô (mâu thuẫn), suy ra ô đánh dấu (+) không được tô màu và 8 ô đánh dấu (*) đều phải được tô màu.

Khi đó mỗi bảng con 2x2 ở 4 góc của bảng 5x5 phải có hai ô được tô màu.

Xét bảng 2x2 ở góc trên bên trái của bảng 5x5, vì có hai ô được tô màu nên trong các ô đánh dấu (-) phải có ít nhất một ô được tô màu, suy ra tồn tại bảng con 2x2 (được tô đậm) có ít nhất 3 ô được tô màu, mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy giá trị lớn nhất của k là 15.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Copa America: 19-06-2015 - 18:15

[aristotle pytago]

1)$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{x+y}{c}\Leftrightarrow -bx(a-c)-ay(b-c)=0\Leftrightarrow xa^{2}+yb^{2}=(x+y)c^{2}$

[vumyloc]

1)$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{x+y}{c}\Leftrightarrow -bx(a-c)-ay(b-c)=0\Leftrightarrow xa^{2}+yb^{2}=(x+y)c^{2}$

phân tích rõ ràng hơn dc ko b?

[aristotle pytago]

mấu chốt là thế a+c=-b và b+c=-a rồi dùng hằng dẳng thức