Chủ đề này có 12 trả lời

[tunglamlqddb]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn bàng tiếp góc A có tâm (J) tiếp xúc BC ở D. AJ cắt (O) tại E khác O. Đường thẳng qua J vuông góc với OJ cắt AO, DE ở M, N. CM: JM=JN
Đây là bài hình do thầy Quang Hùng dạy bên trường hè đưa, mình quên mất không ghi nguồn gốc!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tunglamlqddb: 16-06-2015 - 08:11

[nhungvienkimcuong]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn bàng tiếp góc A có tâm (J) tiếp xúc BC ở D. AJ cắt (O) tại E khác O. Đường thẳng qua J vuông góc với OJ cắt AO, DE ở M, N. CM: JM=JN

mình nghĩ ra một bổ đề cho bài toán này

tiếc là chưa chứng minh được  

$\boxed{\text{Bổ đề 1}}$

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có $J$ là tâm bàng tiếp góc $A$.Gọi $E=AJ\cap (O)$ và $M$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$.Gọi $N=JM\cap (O)$ và $D=NE\cap BC$.CMR $(J)$ tiếp xúc $BC$ ở $D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 14-06-2015 - 20:01

[tunglamlqddb]

Bổ đề này mình biết, bạn chuyển về CM J,M,N thẳng hàng đi, M là giao điểm AO với (O), N là giao điểm DE với (O). Chú ý là EJ²=ED.EN

[tunglamlqddb]

Nhưng áp dụng kiểu gì nhỉ? Bạn cho mình hướng với!

[nhungvienkimcuong]

Nhưng áp dụng kiểu gì nhỉ? Bạn cho mình hướng với!

ta sử dụng bổ đề sau

$\boxed{\text{Bổ đề 2}}$

Cho đường tròn $(O)$ và đường thẳng $d$ nằm ngoài đường tròn.Gọi $S$ là hình chiếu của $O$ trên $d$.Vẽ cát tuyến $SAB,SCD$.$AF,BE$ lần lượt cắt $d$ ở $C,D$.CMR $S$ là trung điểm $CD$

 

sử dụng Bổ đề $1$ và $2$ ta có được $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 14-06-2015 - 20:08

[tunglamlqddb]

E,F thuộc d chứ nhỉ, SE=SF. Thì ra bài kia chỉ áp dụng đơn giản như vậy, dùng cách CM con bướm để cm chứ ko phải áp dụng nguyên con bướm. Hơn nữa cái bổ đề ấy trông cũng giống con bướm mà!!!!

[Chris yang]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn bàng tiếp góc A có tâm (J) tiếp xúc BC ở D. AJ cắt (O) tại E khác O. Đường thẳng qua J vuông góc với OJ cắt AO, DE ở M, N. CM: JM=JN

Spoiler

Đây là lời giải mà mình tìm được

Gọi $DE\cap (O)\equiv X$

Ta có $\triangle EXC\sim\triangle ECD\Rightarrow EX.ED=EC^2=EJ^2\Rightarrow \triangle EXJ\sim\triangle EJD$

$\Rightarrow \widehat{EXJ}=\widehat{EJD}=\widehat{EAM}$

Do đó  $\widehat{AXJ}=\widehat{AXE}+\widehat{EXJ}=180^0-\widehat{ABE}+\widehat{EAM}=90^0$

Suy ra nếu $Y\equiv XJ\cap (O)$ thì $Y\in AM$

Khi đó áp dụng định lý con bướm cho tứ giác nội tiếp $AXYE$ ta có $J$ là trung điểm của $MN$

[mnguyen99]

Spoiler

Đây là lời giải mà mình tìm được

Gọi $DE\cap (O)\equiv X$

Ta có $\triangle EXC\sim\triangle ECD\Rightarrow EX.ED=EC^2=EJ^2\Rightarrow \triangle EXJ\sim\triangle EJD$

$\Rightarrow \widehat{EXJ}=\widehat{EJD}=\widehat{EAM}$

Do đó  $\widehat{AXJ}=\widehat{AXE}+\widehat{EXJ}=180^0-\widehat{ABE}+\widehat{EAM}=90^0$

Suy ra nếu $Y\equiv XJ\cap (O)$ thì $Y\in AM$

Khi đó áp dụng định lý con bướm cho tứ giác nội tiếp $AXYE$ ta có $J$ là trung điểm của $MN$

Đến phần này thì mình ko biết CM ntn

$\Rightarrow \widehat{EXJ}=\widehat{EJD}=\widehat{EAM}$

[tunglamlqddb]

Đến phần này thì mình ko biết CM ntn

$\Rightarrow \widehat{EXJ}=\widehat{EJD}=\widehat{EAM}$

tư tưởng là CM J, X, Y thẳng hàng bạn ạ!

[tunglamlqddb]

Spoiler

Đây là lời giải mà mình tìm được

Gọi $DE\cap (O)\equiv X$

Ta có $\triangle EXC\sim\triangle ECD\Rightarrow EX.ED=EC^2=EJ^2\Rightarrow \triangle EXJ\sim\triangle EJD$

$\Rightarrow \widehat{EXJ}=\widehat{EJD}=\widehat{EAM}$

Do đó  $\widehat{AXJ}=\widehat{AXE}+\widehat{EXJ}=180^0-\widehat{ABE}+\widehat{EAM}=90^0$

Suy ra nếu $Y\equiv XJ\cap (O)$ thì $Y\in AM$

Khi đó áp dụng định lý con bướm cho tứ giác nội tiếp $AXYE$ ta có $J$ là trung điểm của $MN$

bạn chỉ rõ hộ mình với! 

[nhungvienkimcuong]

bạn chỉ rõ hộ mình với! 

dùng bổ đề 2 ấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 16-06-2015 - 15:17

[tunglamlqddb]

dùng bổ đề 2 ấy

mình tưởng con bướm là dùng trong đường tròn? Bạn ấy bảo dùng con bướm, mình không biết con bướm như nào!

[Chris yang]

Đến phần này thì mình ko biết CM ntn

$\Rightarrow \widehat{EXJ}=\widehat{EJD}=\widehat{EAM}$

Nhờ mnguyen99 mình mới nhớ ra lỗi sai

Thay bằng $Y$ là giao của $XJ$ với $(O)$ ta thay $Y$ là giao của $AM-XJ$ và cm $Y\in (O)$ bằng $\angle AXJ=90^0$

@mnguyen99: Kẻ $AH\perp BC$ thì $AH,AO$ đẳng giác trong $\angle BAC$, mà $AE$ là phân giác $\angle BAC$ nên $\angle HAE=\angle EAM$

$JD//AH$ nên $\angle EJD=\angle HAE=\angle EAM$

@tunglamlqddb: đó là định lý mạnh về bài toán con bướm