Chủ đề này có 1 trả lời

[tim1nuathatlac]

Bài toán: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $5\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )=6\left ( ab+bc+ca \right )$

 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\sqrt{2\left ( a+b+c \right )}-\left ( a^{2}+b^{2} \right )$

[Hoang Tung 126]

Bài toán: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $5\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )=6\left ( ab+bc+ca \right )$

 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\sqrt{2\left ( a+b+c \right )}-\left ( a^{2}+b^{2} \right )$

Ta có : $5(a^2+b^2+c^2)=6(ab+bc+ac)= > (a+b+c)^2+4(a^2+b^2+c^2)=8(ab+bc+ac)$  (1)

 

 Theo Cosivà Bunhia có :

 

   $8(ab+bc+ac)=8ab+8c(a+b)\leq 4(a^2+b^2)+4(c^2+(a+b)^2)=4(a^2+b^2+c^2)+4(a+b)^2\leq 4(a^2+b^2+c^2)+4.2(a^2+b^2)=4(a^2+b^2+c^2)+8(a^2+b^2)$  (2)

 

Từ (1),(2) $= > (a+b+c)^2+4(a^2+b^2+c^2)\leq 4(a^2+b^2+c^2)+8(a^2+b^2)= > (a+b+c)^2\leq 8(a^2+b^2)= > a^2+b^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{8}$

 

Do đó $P=\sqrt{2(a+b+c)}-(a^2+b^2)\leq \sqrt{2(a+b+c)}-\frac{(a+b+c)^2}{8}$  (3)

 

   Đặt $\sqrt{2(a+b+c)}=t= > a+b+c=\frac{t^2}{2}= > (a+b+c)^2= \frac{t^4}{4}$

 

 $= > P\leq t-\frac{t^4}{32}$

 

Theo Cosi 4 số có :$\frac{t^4}{32}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\geq 4\sqrt[4]{\frac{t^4}{32.8}}=4\sqrt[4]{\frac{t^4}{4^4}}=t= > t-\frac{t^4}{32}\leq \frac{3}{2}$

 

Từ đó $= > P\leq \frac{3}{2}= > P_{max}=\frac{3}{2}$

 

    Dấu = xảy ra khi $t=2,a=b,c=a+b= > a+b+c=2,a=b,c=a+b= > a=b=\frac{1}{2},c=1$