Chủ đề này có 1 trả lời

[tim1nuathatlac]

Bài toán: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x\geq z$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

 

 

$\frac{xz}{y^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{xz+yz}+\frac{x+2z}{x+z}$

[Hoang Tung 126]

Bài toán: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x\geq z$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

 

 

$\frac{xz}{y^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{xz+yz}+\frac{x+2z}{x+z}$

Đặt $\frac{x}{y}=a,\frac{y}{z}=b= > \frac{x}{z}=ab\geq 1$( Do $x\geq z= > \frac{x}{z}\geq 1$)

 

Ta có :$P=\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y^2}{xz+yz}+\frac{x+2z}{x+z}=\frac{1}{\frac{y}{x}.\frac{y}{z}+\frac{y}{x}}+\frac{1}{\frac{x}{y}.\frac{z}{y}+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}+1$

$=\frac{1}{\frac{b}{a}+\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{1+ab}+1$

$=\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{1}{ab+1}+1=\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{ab+b}+\frac{1}{ab+1}+1$

$\geq \frac{(a+b)^2}{2ab+a+b}+\frac{1}{1+\frac{(a+b)^2}{4}}+1$

$\geq \frac{(a+b)^2}{2.\frac{(a+b)^2}{4}+a+b}+\frac{4}{4+(a+b)^2}+1=\frac{2(a+b)}{a+b+2}+\frac{4}{4+(a+b)^2}+1$

$= > P\geq \frac{2(a+b)}{a+b+2}+\frac{4}{4+(a+b)^2}+1$

  (Do áp dụng bđt Bunhiacopxki và bđt $mn\leq \frac{(m+n)^2}{4}$)

 

  Đặt  $t=a+b> 0= > t\geq 2\sqrt{ab}\geq 2\sqrt{1}=2= > t\geq 2$  (1)

 

 $= > P\geq \frac{2t}{t+2}+\frac{4}{t^2+4}+1$

 

 Ta chứng minh $P\geq \frac{5}{2}< = > \frac{2t}{t+2}+\frac{4}{t^2+4}+1\geq \frac{5}{2}< = > \frac{t}{t+2}+\frac{2}{t^2+4}\geq \frac{3}{4}< = > \frac{t^3+6t+4}{(t+2)(t^2+4)}\geq \frac{3}{4}< = > 4t^3+24t+16\geq 3t^3+6t^2+12t+24< = > t^3-6t^2+12t-8\geq 0$

$< = > (t-2)^3\geq 0< = > t-2\geq 0< = > t\geq 2$

  (Điều này luôn đúng do từ (1))

 

 Từ đó $P\geq \frac{5}{2}= > P_{min}=\frac{5}{2}< = > a=b=1< = > x=y=z> 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 17-06-2015 - 22:20