Chủ đề này có 1 trả lời

[zonthehunter]

Cho tam giác ABC vuông tại A. M trên AB. Kẻ MQ vuông góc với BC(Q trên BC), kẻ MN vuông góc với MQ(N trên AC), kẻ NP vuông góc với MN(P trên BC). Nối MC, BN cắt NP, MQ lần lượt tại F, E. CMR: $\widehat{EAB}=\widehat{FAC}$

[Phung Quang Minh]

Cho tam giác ABC vuông tại A. M trên AB. Kẻ MQ vuông góc với BC(Q trên BC), kẻ MN vuông góc với MQ(N trên AC), kẻ NP vuông góc với MN(P trên BC). Nối MC, BN cắt NP, MQ lần lượt tại F, E. CMR: $\widehat{EAB}=\widehat{FAC}$

-Kẻ \[EH \bot AB(H \in AB);FK \bot AC(K \in AC).\]

-Tam giác ABC có đường cao là AO.

-Ta có:  \[\frac{{EH}}{{AN}} = \frac{{BE}}{{BN}} = \frac{{BQ}}{{BP}};\frac{{KF}}{{AM}} = \frac{{CF}}{{CM}} = \frac{{CP}}{{CQ}} =  > \frac{{EH}}{{AN}} \div \frac{{KF}}{{AM}} = \frac{{BQ}}{{BP}} \div \frac{{CP}}{{CQ}} =  > \frac{{EH}}{{KF}}.\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{BQ}}{{CP}}.\frac{{CQ}}{{BP}}(1).\]

-Lại có: \[\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{EN}}{{NB}} = \frac{{QP}}{{BP}};\frac{{AK}}{{AC}} = \frac{{MF}}{{MC}} = \frac{{QP}}{{QC}} =  > \frac{{AH}}{{AB}} \div \frac{{AK}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AK}}.\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{QP}}{{BP}} \div \frac{{QP}}{{QC}} = \frac{{QC}}{{BP}}(2).\]

-Từ (1);(2) => \[\frac{{EH}}{{KF}}.\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{BQ}}{{CP}}.\frac{{AH}}{{AK}}.\frac{{AC}}{{AB}}\]  => \[\frac{{EH}}{{KF}} = \frac{{AH}}{{AK}}.\frac{{BQ}}{{CP}}.\frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}}(3).\]

-Ta thấy: \[\frac{{BQ}}{{BO}} = \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{CN}}{{CA}} = \frac{{CP}}{{CO}} =  > \frac{{BQ}}{{CP}} = \frac{{BO}}{{CO}} = \frac{{BO.BC}}{{CO.BC}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} =  > \frac{{BQ}}{{CP}}.\frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = 1(4).\]

-Từ (3);(4) => \[\frac{{AH}}{{AK}} = \frac{{HE}}{{FK}} =  > HAE \sim KAF(c.g.c) =  > \widehat {HAE} = \widehat {KAF}\] (đpcm).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phung Quang Minh: 28-06-2015 - 13:41