Câu này em biến đổi tương đương rồi sử dụng BĐT: $x^3+y^3\geq xy(x+y)$
Còn một cách khá trâu bò nữa là dùng phép thế Ravi rồi quy đồng lên sau đó dùng phân tích SOS
Mình giải trong tệp đính kèm nhé
Trên đây là cách của mình ,mọi người post cách làm riêng lên nhé
Ta có : $\sum (\frac{a}{a+b})^2+3\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{a}{a+b})< = > \sum \frac{1}{(1+\frac{b}{a})^2}+3\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{1}{1+\frac{b}{a}})$
Đặt $\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y,\frac{a}{c}=z= > xyz=1,x,y,z> 0$
BĐT $< = > \sum \frac{1}{(1+x)^2}+3\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{1}{x+1})$
$< = > \sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{1}{x+1}-\frac{6}{5})$
$< = > \frac{\sum (y+1)^2(z+1)^2}{(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2}\geq \frac{5}{2}(\frac{\sum (y+1)(z+1)}{(x+1)(y+1)(z+1)}-\frac{6}{5})$
$< = > \frac{\sum (y+1)^2(z+1)^2}{(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2}\geq \frac{5\sum (y+1)(z+1)-6(x+1)(y+1)(z+1)}{2(x+1)(y+1)(z+1)}$
$< = > 2\sum (y+1)^2(z+1)^2\geq (x+1)(y+1)(z+1)\left [ 5\sum (y+1)(z+1)-6(x+1)(y+1)(z+1) \right ]$
$< = > 2\sum (y^2+2y+1)(z^2+2z+1)\geq (xyz+\sum x+\sum xy+1)\left [ 5\sum (yz+y+z+1)-6(xyz+\sum xy+\sum x+1) \right ]$
$< = > 2\sum y^2z^2+4\sum yz(y+z)+4\sum y^2+8\sum yz+8\sum y+6\geq (\sum yz+\sum y+2)(4\sum y-\sum yz+3)$ (1)
(Do thay $xyz=1$ )
Ta lại có :$(\sum yz+\sum y+2)(4\sum y-\sum yz+3)$
$=4(\sum y)(\sum yz)-(\sum yz)^2+3\sum yz+4(\sum y)^2-(\sum y)(\sum yz)+3\sum y+8\sum y-2\sum yz+6=3(\sum y)(\sum yz)-(\sum yz)^2+\sum yz+4(\sum y)^2+11\sum y+6$
$=3\sum yz(y+z)+9xyz-\sum y^2z^2-2xyz\sum y+\sum yz+4\sum y^2+8\sum xy+11\sum y+6$
$=3\sum yz(y+z)-\sum y^2z^2+9\sum y+9\sum yz+4\sum y^2+15$ (2)
(Do thay $xyz=1$)
Từ (1),(2) ,BĐT $< = > 2\sum y^2z^2+4\sum yz(y+z)+4\sum y^2+8\sum yz+8\sum y+6\geq 3\sum yz(y+z)-\sum y^2z^2+9\sum y+4\sum y^2+9\sum yz+15$
$< = > 2\sum y^2z^2+\sum yz(y+z)\geq \sum yz+\sum y+9$ (3)
Nhưng theo BĐT Cosi thì $\sum y^2z^2\geq xyz\sum y=\sum y$ (Do $xyz=1$)
$\sum y^2z^2\geq \frac{(\sum yz)^2}{3}=\frac{(\sum yz)(\sum yz)}{3}\geq \frac{3\sqrt[3]{(xyz)^2}(\sum yz)}{3}=\sum yz$
$\sum y^2z^2+\sum yz(y+z)\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^4}+6\sqrt[6]{(xyz)^6}=3+6=9$
Cộng theo vế các BĐT $= > 3\sum y^2z^2+\sum yz(y+z)\geq \sum y+\sum yz+9$
Từ đó $= > (3)$ đúng và các phép biến đổi trên là tương đương nên ta có ĐPCM
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1< = > \frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{a}{c}=1< = > a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 02-07-2015 - 15:51