Cho tamgiác ABC. Vẽ ra ngoài tam giác các tam giác cân tại A và đồng dạng với nhau PAB, QAC. Gọi R là giao điểm của BQ và CP. O là tâm (BCR). Chứng minh AO vuông góc PQ
Chứng minh AO vuông góc với PQ
#1
Đã gửi 03-07-2015 - 09:32
#2
Đã gửi 04-07-2015 - 17:58
$\Delta APC = \Delta ABQ\Rightarrow APBR$ và $AQCR$ nội tiếp được. Giả sử $O_1, O_2$ lần lược là tâm $(APBR)$ và $(AQCR)$
Giả sử $AP$ giao $(AQCR)$ tại $P'$, $AQ$ giao $(APBR)$ tại $Q'$, dễ dàng chứng minh $PQ'P'Q$ nội tiếp được và $PQ'||CQ, QP'||BP$
Do đó $PQ'\perp AO_2$ và $QP'\perp AO_1$ và theo tính chất trục đẳng phương thì $PQ', QP', AR$ đồng quy. Mặt khác $AR\perp O_1O_2$
Do đó $\Delta AO_1O_2$ và $\Delta RQP$ trực giao. Do đó đường thẳng qua $A$ vuông góc với $PQ$ đi qua giao điểm của đường thẳng qua $O_1$ vuông góc với $BR$ và đường thẳng qua $O_2$ vuông góc với $CR$, và đó chính là $O$. Do đó $AO\perp PQ$
P.s. Nhìn sơ sơ tưởng bài này dễ lắm, ai ngờ nửa buổi chiều suy nghĩ mới ra @@
- binvippro, mnguyen99, Belphegor Varia và 1 người khác yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#3
Đã gửi 05-07-2015 - 20:49
Làm sao để Cm $PQ'P'Q$ nội tiếp nhỉ
THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$???
TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026
#5
Đã gửi 01-08-2015 - 13:02
ta dễ có: $\Delta PAC=\Delta BAQ$ suy ra $\widehat{APC}=\widehat{ABQ};\widehat{ACP}=\widehat{AQB}$
suy ra A,P,B,R đồng viên và A,Q,C,R đồng viên
gọi (O1) và (O2) là đtròn ngoại tiếp APBR và AQCR
ta sẽ có $OO_{1}\perp RQ;OO_{2}\perp RP$
Gọi d là đt qua A vuông góc PQ
Ta cần chứng minh d đi qua O.
áp dụng định lí carnot cho $\Delta RPQ$: d; O1O; O2O đồng quy <=> $O_{1}R^{2}-O_{1}Q^{2}+AQ^{2}-AP^{2}+O_{2}P^{2}-O_{2}R^{2}=0$
<=> $O_{1}A^{2}+AQ^{2}-O_{1}Q^{2}=O_{2}A^{2}+AP^{2}-O_{2}P^{2}$
<=> O1A. AQ. cos O1AQ=O2A. AQ. cos O2AP
<=> $\frac{AP}{O_{1}A}=\frac{AQ}{O_{2}A}$
<=> cos $\frac{1}{2}.\widehat{BAP}$= cos $\frac{1}{2}.\widehat{CAQ}$ (đúng)
Từ đây ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huypham2811: 01-08-2015 - 14:19
- Bonjour yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh