Chủ đề này có 1 trả lời

[Katyusha]

Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a,b\in \left[\dfrac{1}{2};1\right]$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a^5b+b^5a+\dfrac{6}{a^2+b^2}-3(a+b)$

[Hoang Tung 126]

Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a,b\in \left[\dfrac{1}{2};1\right]$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a^5b+b^5a+\dfrac{6}{a^2+b^2}-3(a+b)$

- Do $a,b$ thuộc đoạn $\left [ \frac{1}{2},1 \right ]= > 1-a\geq 0,1-b\geq 0= > (1-a)(1-b)\geq 0= > ab\geq a+b-1$

 

Do $a,b\geq \frac{1}{2}= > a+b-1\geq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=0= > a+b-1\geq 0$

 

  Áp dụng bđt $m^{4}+n^{4}\geq \frac{(m+n)^4}{8}$

 

Từ đó ta có:

 

   $P=a^5b+ab^5+\frac{6}{a^2+b^2}-3(a+b)=ab(a^4+b^4)+\frac{6}{(a+b)^2-2ab}-3(a+b)$
$\geq (a+b-1).\frac{(a+b)^4}{8}+\frac{6}{(a+b)^2-2(a+b-1)}-3(a+b)$
$=\frac{(a+b)^5-(a+b)^4}{8}+\frac{6}{(a+b)^2-2(a+b)+2}-3(a+b)$
$= > P\geq \frac{t^5-t^4}{8}+\frac{6}{t^2-2t+2}-3t$

 

 (với $t=a+b$)

 

 Ta chứng minh $P\geq -1< = > \frac{t^5-t^4}{8}+\frac{6}{t^2-2t+2}-3t\geq -1< = > (t-2)^2(t^5+t^4+4t^3+10t^2+16)\geq 0$ 

    (Điều này luôn đúng)

 

Do đó  $P\geq -1= > P_{min}=-1< = > (a-1)(b-1)=0,a+b=2< = > a=b=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 04-07-2015 - 19:43