Chủ đề này có 2 trả lời

[quan1234]

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1.CMR:

$\frac{1}{(x+1)^2(y+z)}+\frac{1}{(y+1)^2(x+z)}+\frac{1}{(1+z)^2(x+y)}\leq \frac{3}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quan1234: 11-07-2015 - 22:00

[Senju Hashirama]

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1.CMR:

$\frac{1}{(x+1)^2(y+z)}+\frac{1}{(y+z)^2(x+z)}+\frac{1}{(x+z)^2(x+y)}\leq \frac{3}{8}$

Cái mẫu đầu tiên là $\left ( x+1 \right )^{2}$  hay  $\left ( x+y \right )^{2}$ vậy 

[Senju Hashirama]

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1.CMR:

$\frac{1}{(x+1)^2(y+z)}+\frac{1}{(y+1)^2(x+z)}+\frac{1}{(1+z)^2(x+y)}\leq \frac{3}{8}$

Bổ đề (Vasile Cirtoaje)  Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng :

$\sum \sqrt{\frac{x}{x+y}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Chứng minh bổ đề :

Áp dụng bđt CAUCHY-SCHWARZ, ta có:

$\left ( \underset{cyc}{\sum}\dfrac{x}{x+y} \right )^{2}\leq \left [ \underset{sym}{\sum}(x+z) \right ]\left [ \underset{cyc}{\sum}\dfrac{x} {(x+y)(x+z)} \right ]=\dfrac{4(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Ta có đánh giá quen thuộc :

$8(x+y+z)(xy+yz+zx)\leq 9(x+y)(y+z)(z+x)$

Nên :

$\left ( \underset{cyc}{\sum}\dfrac{x}{x+y} \right )^{2}\leq \dfrac{9}{2}$

Từ đó bổ đề được chứng minh

Quay lại bài toán :

Vì $abc=1$ nên ta đặt $a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x}$ với $x,y,z>0$.

Ta cần chứng minh :

$\underset{cyc}{\sum} \dfrac{1}{\left ( \dfrac{x}{y}+1 \right )^2\left ( \dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x} \right )}=\underset{cyc}{\sum} \dfrac{xy^2z}{(x+y)^2(xy+z^2)}\leq \dfrac{3}{8}\Leftrightarrow \underset{cyc}{\sum }\sqrt{\dfrac{x^2y^4z^2}{(x+y)^4)(xy+z^2)^2}}\leq \dfrac{3}{8}$

Ta có :

$(x+y)^4=(x-y)^4+8xy(x^2+y^2)\geq 8xy(x^2+y^2)$

và 

 $(xy+z^2)^2\geq 4xyz^2$

Ta chỉ cần chứng minh :

$\underset{cyc}{\sum }\sqrt{\dfrac{x^2y^4z^2}{8xy(x^2+y^2).4xyz^2}}\leq \dfrac{3}{8}\Leftrightarrow \underset{cyc}{\sum }\sqrt{\dfrac{y^2}{x^2+y^2}}\leq \dfrac{3}{\sqrt{2}}$

Điều này luôn đúng theo bổ đề . Bài toán được chứng minh.