Chủ đề này có 6 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

1)Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:$\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+7ab+b^2}}\geq 1$

2)Cho $a,b,c> 0$.Chứng minh rằng:$\sum \frac{1}{\sqrt{4a^2+bc}}\geq \frac{4}{a+b+c}$

 

 

[Rias Gremory]

1)Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:$\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+7ab+b^2}}\geq 1$

Đây 

[Rias Gremory]

2)Cho $a,b,c> 0$.Chứng minh rằng:$\sum \frac{1}{\sqrt{4a^2+bc}}\geq \frac{4}{a+b+c}$

Bài này giả thiết là không âm chứ nhỉ ??

$$P = \frac{1}{{\sqrt {4{a^2} + bc} }} + \frac{1}{{\sqrt {4{b^2} + ca} }} + \frac{1}{{\sqrt {4{c^2} + ab} }}$$

Và : $$Q = (b + c)^3( 4a^2 + bc) + (c + a)^3(4b^2 + ca)+(a + b)^3(4c^2+ ab)$$

Theo Hoder, ta có: $P^2Q \ge [ 2( {a + b + c)]^3} = 8(a + b + c)^3 \Rightarrow P^2\geq \frac{8(a+b+c)^3}{(b+c)^3(4a^2+bc)+(c+a)^3(4b^2+ca)+(a+b)^3(4c^2+ab)}$

Ta sẽ chứng minh : $\frac{8(a + b + c )^3}{( {b + c)^3(4a^2+bc)+(c + a)^3(4b^2+ca)+(a+b )^3(4c^2+ab)}} \ge \frac{16}{( a + b + c)^2} \Leftrightarrow ( a + b + c)^5 \geq 2[(b+c)^3(4a^2+bc)+(c+a)^3(4b^2+ca)+(a+b)^3(4c^2+ab)]$

BĐT đúng suy ra ĐPCM 

Dấu bằng xảy ra khi $a=b,c=0$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhamHungCxHT: 11-07-2015 - 18:29

[NhatTruong2405]

1)Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:$\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+7ab+b^2}}\geq 1$

Xin đóng góp 1 cách
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{\frac{b^2}{a^2}+\frac{7b}{a}+1}}\geq 1$
Đổi biến $(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})\rightarrow (x,y,z)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{x^2+7x+1}}\geq 1$
Ta chứng minh $\frac{1}{\sqrt{x^2+7x+1}}\geq \frac{1}{x+\sqrt{x}+1}$
$\Leftrightarrow x^2+x+1+2x\sqrt{x}+2x+2\sqrt{x}\geq x^2+7x+1$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2\geq 0$ đúng
Nên $\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+7x+1}}\geq \sum \frac{1}{x+\sqrt{x}+1}$
Cần chứng minh $\sum \frac{1}{x+\sqrt{x}+1}\geq 1$
hay $\sum \frac{1}{e^2+e+1}\geq 1$
Do xyz=1 nên efg=1
Đổi biến $(e,f,g)\rightarrow (\frac{pq}{r^2},\frac{qr}{p^2},\frac{rp}{q^2})$
$\sum \frac{1}{\frac{(pq)^2}{r^4}+\frac{pq}{r^2}+1}\geq 1$
$\Leftrightarrow \sum \frac{r^4}{(pq)^2+pqr^2+r^4}\geq 1$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz
$\sum \frac{r^4}{(pq)^2+pqr^2+r^4}\geq \frac{\sum (p^2)^2}{\sum (pq)^2+pqr(p+q+r)+\sum r^4}$
Mà $\sum (p^2)^2\geq \sum p^4 +\sum (pq)^2 +pqr(p+q+r)$
BDT được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 11-07-2015 - 20:54

[Dinh Xuan Hung]

1)Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:$\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+7ab+b^2}}\geq 1$

 

Cách khác;

Đặt $x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}$nên $xyz=1$ thì bđt cần chứng minh tương đương$\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+7x+1}}\geq 1$

Đđặt $x=\frac{n^2p^2}{m^4};y=\frac{p^2m^2}{n^4};z=\frac{m^2n^2}{p^4}$ nên cần chứng minh $\sum \frac{m^4}{\sqrt{m^8+7m^4n^2p^2+n^4p^4}}\geq 1$

Áp dụng bđt holder ta có $(\sum \frac{m^4}{\sqrt{m^8+7m^4n^2p^2+n^4p^4}})^2(\sum m(m^8+7m^4n^2p^2+n^4p^4))\geq (m^3+n^3+p^3)^3$

Do đó cần chứng minh $( m^3+n^3+p^3)^3\geq \sum m(m^8+7m^4n^2p^2+n^4p^4)$

$\Leftrightarrow \sum (5m^6n^3+2m^3n^3p^3-7m^5n^2p^2)+\sum (m^6n^3-m^4n^4p)\geq 0$

Bđt này luôn đúng nên có đpcm

[Super Fields]

Cách khác;
Đặt $x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}$nên $xyz=1$ thì bđt cần chứng minh tương đương$\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+7x+1}}\geq 1$
Đđặt $x=\frac{n^2p^2}{m^4};y=\frac{p^2m^2}{n^4};z=\frac{m^2n^2}{p^4}$ nên cần chứng minh $\sum \frac{m^4}

Có phương pháp đặt không hay đặt theo cảm hứng vậy Hùng?

Có phương pháp đặt không hay đặt theo cảm hứng vậy Hưng?

có phương pháp đó bạn

có phương pháp đó bạn

Bạn cho mình biết tên phương pháp được không?

 

Dinh Xuan Hung:Tên mình là HÙNG chứ không phải HƯNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 11-07-2015 - 22:04

[Dinh Xuan Hung]

Có phương pháp đặt không hay đặt theo cảm hứng vậy Hùng?
 

 

có phương pháp đó bạn

 

Bạn cho mình biết tên phương pháp được không?

 

Dinh Xuan Hung:Tên mình là HÙNG chứ không phải HƯNG

 

Thông thường, với các bất đẳng thức 3 biến a,b,c thì các phép đổi biến thường được sử dụng là:

$I,(a;b;c)\rightarrow \left ( \frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z} \right )$

$II,(a;b;c)\rightarrow \left ( \frac{kx}{y};\frac{ky}{z};\frac{kz}{x} \right )$

$III,(a;b;c)\rightarrow \left ( \frac{ky}{x};\frac{kx}{y};\frac{kx}{z} \right )$

$IV,(a;b;c)\rightarrow \left ( \frac{kyz}{x^2};\frac{kxz}{y^2};\frac{kxy}{z^2} \right )$

$(a;b;c)\rightarrow \left ( \frac{ka^2}{bc};\frac{kb^2}{ca};\frac{kc^2}{ab} \right )$