Chủ đề này có 3 trả lời

[Chung Anh]

Với các số thực a,b,c.Chứng minh rằng

$(b+c)^4+(a+c)^4+(a+b)^4\geq \frac{4}{7}(a^4+b^4+c^4) $

[hoanglong2k]

Với các số thực a,b,c.Chứng minh rằng

$(b+c)^4+(a+c)^4+(a+b)^4\geq \frac{4}{7}(a^4+b^4+c^4) $

 Do $\sum a(a+b+c)=(\sum a)^2\geq 0$ nên 1 trong 3 số $a(a+b+c)~;b(a+b+c)~;c(a+b+c)$ không âm

 Không mất tính tổng quát, giả sử $a(a+b+c)\geq 0$

 Khi đó :

 Đặt $f(a,b,c)=(b+c)^4+(a+c)^4+(a+b)^4- \frac{4}{7}(a^4+b^4+c^4)$ 

$f(a,b,c)-f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})=\left [ \frac{3(b^2+c^2)}{28}+3a(a+b+c)+\frac{15(b+c)^2}{56} \right ](b-c)^2\geq 0$

 $\Rightarrow f(a,b,c)\geq f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})$

 Khúc còn lại đạo hàm là ra

[the man]

Với các số thực a,b,c.Chứng minh rằng

$(b+c)^4+(a+c)^4+(a+b)^4\geq \frac{4}{7}(a^4+b^4+c^4) $

Cách khác ở   Đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 12-07-2015 - 09:34

[dogsteven]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $(b+c)^4+(c+a)^4+(a+b)^4\geqslant \dfrac{\left[(b+c)^2+(c+a)^2+(a+b)^2\right]^2}{3}=\dfrac{1}{3}\left[a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\right]^2$

Do đó ta chỉ cần chứng minh: $\left[a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\right]^2\geqslant \dfrac{12}{7}\left(a^4+b^4+c^4\right)$

Đặt $d=-(a+b+c)$ thì $a^4+b^4+c^4\leqslant a^4+b^4+c^4+d^4$ nên ta cần chứng minh: $7(a^2+b^2+c^2+d^2)^2\geqslant 12(a^4+b^4+c^4+d^4)$

Đặt $x=a^2+b^2+c^2, y=ab+bc+ca$ thì $d^2=x+2y$ và $a^4+b^4+c^4\leqslant x^2-\dfrac{2}{3}y^2$

Ta cần chứng minh: $7(x+y)^2\geqslant 3x^2-2y^2+3(x+2y)^2\Leftrightarrow (x-y)(x+3y)\geqslant 0$

Bất đẳng thức trên sẽ đúng nếu: $x+3y\geqslant 0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)\geqslant 0$

Mà $\sum [a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)]=3(a+b+c+d)^2=0$ nên có thể giả sử $a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)\geqslant 0$

Bất đẳng thức được chứng minh.