Chủ đề này có 1 trả lời

[olympiachapcanhuocmo]

Cho $a,b,c\in \mathbb{Q}$ thỏa mãn : $a\sqrt[3]{4}+b\sqrt[3]{2}+c=0$

 

Chứng minh rằng : $a=b=c=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 13-07-2015 - 17:29

[hoanglong2k]

Cho $a,b,c\in \mathbb{Q}$ thỏa mãn : $a\sqrt[3]{4}+b\sqrt[3]{2}+c=0$

 

Chứng minh rằng : a=b=c=0

 Giả sử $a\neq 0$ thì $b,c\neq 0$

 Ta có : $a\sqrt[3]4+b\sqrt[3]2+c=0$

             

            $\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} ab.\sqrt[3]4+b^2.\sqrt[3]2+bc=0\\ 2a^2+ab.\sqrt[3]4+ac.\sqrt[3]2=0 \end{matrix}\right. $

             

            $\Rightarrow (b^2-ac).\sqrt[3]2=-bc+2a^2$            (1)

 

 Nếu $\left\{\begin{matrix} b^2-ac=0\\ -bc+2a^2=0 \end{matrix}\right.$

       

        $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2a^2=bc\\  b^3=abc=2a^3 \end{matrix}\right.$ 

       

        $\Leftrightarrow b=\sqrt[3]2a$ vô lí

 

  Nếu $b^2-ac\not =0$ thì VT là số vô tỉ còn VP là số nguyên nên (1)  cũng vô lí

  Từ đó suy ra $a=b=c=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 13-07-2015 - 17:28