Chủ đề này có 2 trả lời

[thuylinh284]

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A',B',C' là các điểm theo thứ tự ở trên cạnh BC,CA và AB sao cho: $\overrightarrow{A'B}=k\overrightarrow{A'C} ; \overrightarrow{B'C}=k\overrightarrow{B'A}; \overrightarrow{C'A}=k\overrightarrow{C'B} (k\neq 1)$

a) Hãy tính $\overrightarrow{GA}$ theo $\overrightarrow{GB'}$ VÀ $\overrightarrow{GC'}$

B) Chứng tỏ G cũng là trọng tâm tam giác A'B'C'

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuylinh284: 14-07-2015 - 08:12

[LeHKhai]

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A',B',C' là các điểm theo thứ tự ở trên cạnh BC,CA và AB sao cho: $\overrightarrow{A'B}=k\overrightarrow{A'C} ; \overrightarrow{B'C}=k\overrightarrow{B'A}; \overrightarrow{C'A}=k\overrightarrow{C'B} (k\neq 1)$

a) Hãy tính $\overrightarrow{GA}$ theo $\overrightarrow{GB'}$ VÀ $\overrightarrow{GC'}$

B) Chứng tỏ G cũng là trọng tâm tam giác A'B'C'

a) ta có $\overrightarrow{C'A}=k\overrightarrow{C'B}\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GC'}=k\overrightarrow{GB}-k\overrightarrow{GC'}\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}-k\overrightarrow{GB}=\left ( 1-k \right )\overrightarrow{GC'}$ $(1)$

tương tự, $\overrightarrow{B'C}=k\overrightarrow{B'A}\Leftrightarrow k\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GC}=\left ( k-1 \right )\overrightarrow{GB'}$

hiển nhiên $k\neq 0$, do đó $k^2\overrightarrow{GA}-k\overrightarrow{GC}=k\left ( k-1 \right )\overrightarrow{GB'}$ $(2)$

cộng $(1)$ và $(2)$ ta có : $\left ( k^2+1 \right )\overrightarrow{GA}-k\left ( \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right )=k\left ( k-1 \right )\overrightarrow{GB'}+\left ( 1-k \right )\overrightarrow{GC'}$

mà $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

do đó $\left ( k^2+k+1 \right )\overrightarrow{GA}=k\left ( k-1 \right )\overrightarrow{GB'}+\left ( 1-k \right )\overrightarrow{GC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}=\frac{k^2-k}{k^2+k+1}\overrightarrow{GB'}+\frac{1-k}{k^2+k+1}\overrightarrow{GC'}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LeHKhai: 14-07-2015 - 10:18

[LeHKhai]

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A',B',C' là các điểm theo thứ tự ở trên cạnh BC,CA và AB sao cho: $\overrightarrow{A'B}=k\overrightarrow{A'C} ; \overrightarrow{B'C}=k\overrightarrow{B'A}; \overrightarrow{C'A}=k\overrightarrow{C'B} (k\neq 1)$

a) Hãy tính $\overrightarrow{GA}$ theo $\overrightarrow{GB'}$ VÀ $\overrightarrow{GC'}$

B) Chứng tỏ G cũng là trọng tâm tam giác A'B'C'

b) ta có $\overrightarrow{A'B}=k\overrightarrow{A'C}\Rightarrow \overrightarrow{A'B}-\overrightarrow{A'C}=\left ( k-1 \right )\overrightarrow{A'C}\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\left ( k-1 \right )\overrightarrow{CA'}$

tương tự, ta cũng có $\overrightarrow{CA}=\left ( k-1 \right )\overrightarrow{AB'}$, $\overrightarrow{AB}=\left ( k-1 \right )\overrightarrow{BC'}$

do đó $\left (k-1 \right )\left ( \overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{BC'}+\overrightarrow{CA'} \right )=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$

vì $k\neq 1$ nên $\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{BC'}+\overrightarrow{CA'}=\overrightarrow{0}$

ta có $\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\left ( \overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CA'} \right )+\left ( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB'} \right )+\left ( \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BC'} \right )=\left ( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right )+\left ( \overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{BC'}+\overrightarrow{CA'} \right )=\overrightarrow{0}$

từ đó $G$ cũng là trọng tâm của $\Delta A'B'C'$