Chủ đề này có 1 trả lời

[the man]

Bài toán:

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp  $(O)$ . ĐIểm $P$ trong tam giác sao cho $\widehat{BPC}=180^{\circ}-\widehat{BAC}$. 

$PB$ cắt $CA$ ở $E$, $PC$ cắt $AB$ tại $F$. Đường tròn $(AEF)$ cắt $(O)$ tại $G$ khác $A$. Đường tròn đường kính $PG$ cắt $(O)$ ở $K$. D là hình chiếu của $P$ trên $BC$ và $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh  $(KDM)$ tiếp xúc $(KPG)$.

Mở rộng từ bài thi IMO năm nay

Nguồn : AOPS

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 18-07-2015 - 21:14

[dogsteven]

$M$ là trung điểm $BC$ nữa mới xong. Bài này mở rộng cho Bài toán 3 IMO năm nay.

Cách làm tương tự như cách làm ở mình trong topic trên diễn đàn.

Xét $A'$ đối xứng với $P$ qua $M$ thì $A'\in (O)$

$\Rightarrow \widehat{AGA'}=180^o-\widehat{ACA'}=180^o-\widehat{AEB}=\widehat{AGP}\Rightarrow\overline{PGM}$

Giả sử $PD$ cắt cung $BC$ chứa $A$ và không chứa $A$ của $(O)$ lần lược tại $A''$ và $P'$

Dễ thấy $P'$ đối xứng với $P$ qua $D$ và chú ý $MBA'C$ là hình bình hành nên $P'A'||BC$, từ đó suy ra $A'A''$ là đường kính của $(O)$

Đến đây biến đổi góc chứng minh $GM$ tiếp xúc với $(KPP')$ suy ra $TK^2=TP^2=TD.TM$ với $T$ là tâm của $(KPP')$ blah blah...